无穷小量子群u_k(n) 是由Lusztig在文献[1]中引入的一类重要的有限维Hopf代数，即经典模李代数理论中限制泛包络代数的量子化.q-Schur代数U_k(n, r) 作为量子群的商代数，是联系量子群与Hecke代数的桥梁.无穷小q-Schur代数s_k(n, r) 与小q-Schur代数U_k(n, r) 分别在文献[2-3]中被引入, 对应于代数群gl_k(n) 的闭子群gl_k(n)₁T与gl_k(n)₁, 这里gl_k(n)₁和T分别为gl_k(n) 的Frobenius核与一个极大环面.因为End_{Uk(n, r)}(Ω_k^ⓧr)=End_uk(n)(Ω_k^ⓧr)，它将是研究无穷小情形下Schur-Weyl对偶的重要工具.这里k是一个特征为零包含l(奇数) 次单位根ε的域，其中l≥3(本文中只需考虑l=3的情形).u_k(2) 是gl_k(2) 在k上的无穷小量子群, Ω_k是gl_k(2) 在k上的自然表示.本文研究End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 与End_{uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 的结构，给出它们的维数、一组生成元以及正则分解，希望在接下来的研究中得到更一般的结果.

1 无穷小q-Schur代数与小q-Schur代数

gl (2) 在域Q(v) (v为一不定元) 上的量子包络代数U=U(2) 有如下生成元：

$ E、F、{K_i}、K_i^{-1}, 1 \le i \le 2 $

满足如下关系式：

(1) K_iK_j=K_jK_i, K_iK_i^-1=1.

(2) K₁E=vEK₁, K₂E=v^-1EK₂.

(3) K₁F=v^-1FK₁, K₂E=vFK₂.

(4) EF-FE=$\frac{{{K_1}K_2^{-1}-K_1^{-1}{K_2}}}{{v-{v^{-1}}}}$.

U(2) 为Hopf代数，其余乘在生成元上的定义为

$ \begin{array}{l} \Delta (E) = E \otimes {K_1}K_2^{-1} + 1 \otimes E\\ \Delta (F) = F \otimes 1 + K_1^{-1}{K_2} \otimes F\\ \;\;\;\;\;\;\;\Delta ({K_i}) = {K_i} \otimes {K_i} \end{array} $

设Z=Z[v, v^-1]，如文献[1]中所述，记U_Z(2) 为U(2) 中由E^(m)、F^(m)、K_i^±1以及$\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{K_i}; 0}\\ t \end{array}} \right]$生成的Z-子代数，其中t、m为一正整数，则

$ \begin{array}{l} {E^{(m)}} = \frac{{{E^m}}}{{[m]!}}, {F^{(m)}} = \frac{{{F^m}}}{{[m]!}}, \\ \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{K_i};c}\\ t \end{array}} \right] = \prod\limits_{s = 1}^t {\frac{{{K_i}{v^{c -s + 1}} -K_i^{ -1}{v^{ - c + s - 1}}}}{{{v^s} - {v^{ - s}}}}} \end{array} $

设k是一个特征为零包含l(奇数) 次单位根ε的域，将v赋值为ε, 则k可视为Z-模.设U_k(2)=U_Z(2)ⓧk，仍用E、F、K_i^±1表示它们在U_k(2) 中的像.记${\tilde u_k}$(2) 为U_k(2) 中由E、F、K_i^±1生成的子代数，则u_k(2)=${\tilde u_k}$(2)/(K₁^l-1, K₂^l-1) 即为gl (2) 在k上的无穷小量子群.

设Ω为基{ω_i|1≤i≤2}张成的自由Z-模，记Ω_Q(v)=Ωⓧ_ZQ(v), Ω_k=Ωⓧ_Zk，则U(2) 在Ω_Q(v)上有自然作用Eω_b=δ_{2, b}ω_b-1, Fω_a=δ_{1, a}ω_a+1, K_aω_b=v^{δ_{a, b}}ω_b.上述模结构显然可诱导至域k, 因此由U_k(2) 的余乘可定义U_k(2) 到Ω_k^ⓧr上的作用, 同时得到代数同态ζ_r:U_k(2)→End_k(Ω_k^ⓧ5), 而U_k(2, r):=ζ_r(U_k(2)) 即为域k上的q-Schur代数.文献[3]中u_k(2, r):=ζ_r(${\tilde u_k}$(2))=ζ_r(u_k(2)) 即为小q-Schur代数.

记e=ζ_r(E), f=ζ_r(F), K_i=ζ_r(K_i), 其中1≤i≤2.另设${k_\lambda } = \prod\limits_{i = 1}^2 {\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{K_i}; 0}\\ {{\lambda _i}} \end{array}} \right]} $，其中λ∈Λ(2, r):={λ∈N²|λ₁+λ₂=r}.对任意正整数m, 记Z_m=Z/mZ，定义

$ ^-:{Z^2} \to {({z_l})^2} $

为由(j₁, j₂)=(j₁, j₂)(j₁，j₂∈Z) 决定的映射.

设Λ(2, r)={λ-∈(Z_l)²|λ∈Λ(2, r)}，对λ-∈(Z_l)², 定义

$ {P_{\bar \lambda }} = \left\{ \begin{array}{l} \sum\limits_{\mu \in \mathit{\Lambda }{\rm{(2, }}r{\rm{), }}\bar \mu = \bar \lambda } {{k_\mu }, \;\;\;\bar \lambda \in \overline {\mathit{\Lambda }{\rm{(2, }}r{\rm{)}}} } \\ 0, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其他情形 \end{array} \right. $

记U_Z⁽⁰⁾(2, r) 和u_Z⁽⁰⁾(2, r) 分别表示U_Z(2, r) 和u_Z(2, r) 零部分构成的子代数.

定理1^[3-4] 集合{k_λ|λ∈Λ(2, r)} (resp. {P_λ|λ-∈Λ(2, r)}) 为U_Z⁽⁰⁾(2, r)(resp. u_Z⁽⁰⁾(2, r)) 的一组完备的本原正交幂等元 (因此也是一组基).特别地, $1 = \sum\limits_{\lambda \in \mathit{\Lambda }(2, r)} {{k_\lambda } = } \sum\limits_{\bar \lambda \in \overline {\mathit{\Lambda }(2, r)} } {{k_{\bar \lambda }}}.$.

记s_k(2, r) 为U_k(2, r) 中由u_k(2, r) 及$\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{k_i}; 0}\\ t \end{array}} \right]$生成的k-子代数，即是文献[2]中引入的无穷小q-Schur代数.

2 张量空间Ω_k^ⓧ5的模结构

首先给出n=2时tilting模T(λ) 与Weyl模Δ(λ) (q-Schur代数拟遗传性质中的标准模) 的相关结果.

引理1(文献[5]3.4节) 设λ=(λ₁, λ₂) 为支配权.如果λ₁-λ₂≤l-1或λ₁-λ₂≡-1(mod l)(即λ为Steinberg权)，则T(λ)=Δ(λ).如果λ₁-λ₂>l-1且λ₁-λ₂=bl+a, 0≤a<l-1，则T(λ) 有如下滤过：

$ 0 \subseteq \Delta (\lambda ) \subseteq T(\lambda ) $

并且T(λ)/Δ(λ)≅Δ(μ), μ=(λ₁-(a+1)，λ₂+(a+1)).

引理2 设λ=(λ₁, λ₂) 为支配权.如果λ₁-λ₂≤l-1或λ₁-λ₂≡-1(mod l)(即λ为Steinberg权), 则Δ(λ)=L(λ).如果λ₁-λ₂>l-1且λ₁-λ₂=bl+a, 0≤a < l-1，则Δ(λ) 有如下滤过:

$ 0 \subseteq L(\mu ) \subseteq \Delta (\lambda ) $

并且Δ(λ)/L(μ)≅L(λ), μ=(λ₁-(a+1)，λ₂+(a+1)).

证明 只需证明λ₁-λ₂>l-1且λ₁-λ₂=bl+a, 0≤a < l-1的情形.由Weyl模Δ(λ) 的定义，其有如下形式特征标：

$ \begin{array}{l} ch\Delta \left( \lambda \right) = e\left( {bl + a} \right) + e\left( {bl + a-2} \right) + \cdots + {\rm{ }}\\ \;\;\;\;\;\;\;e\left( {-bl-a + 2} \right) + e\left( { - bl - a} \right) \end{array} $

由Steinberg张量积定理，L(λ)≅L(a)ⓧL(lb), L(bl-a-2)≅L(l-a-2)ⓧL(l(b-1)), 注意L(λ) 即L(λ₁-λ₂)，这里将用划分参数化的单模与用一个整数参数化的单模混用.因此ch L(λ)=$\sum\limits_{i = 0}^b {\sum\limits_{j = 0}^a {e ((b-2i) l + (a-2j)), {\rm{ch}}\; L (bl-a-2)} } $=$\sum\limits_{i = 0}^{b-1} {\sum\limits_{j = 0}^{l-a-2} {e ((b-1-2i) l + (l-a-2-2j))} } $，不难看出ch Δ(λ)=ch L(λ)+ch L(bl-a-2)，引理成立.

作为gl_k(2) 的模，Ω_k≅Δ(1, 0)≅T(1, 0)，而由文献[5]中3.3节，tilting模关于张量积运算封闭，因此作为U_k(2, 5) 的模，Ω_k^ⓧ5有如下tilting模分解：

$ \mathit{\Omega }_k^{ \otimes 5} \cong {d_{(5, 0)}}T\left( {5, 0} \right) + {d_{(4, 1)}}T\left( {4, 1} \right) + {d_{(3, 2)}}T\left( {3, 2} \right). $

先取定l=3.

此时，由引理1和2，T(5, 0)≅L(5, 0), T(3, 2)≅L(3, 2)，而T(4, 1) 有如下滤过：

$ 0 \subseteq {M_1} \subseteq {M_2} \subseteq T(4, 1) $

其中，M₁≅L(3, 2), M₂≅Δ(4, 1), M₂/M₁≅L(4, 1), T(4, 1)/M₂≅L(3, 2).

引理3 上述Ω_k^ⓧ5的tilting模分解的重数d_{(5, 0)}=1, d_{(4, 1)}=4, d_{(3, 2)}=1.

证明 由上述T(λ) 的模结构，可得它们的特征标如下：

$ \begin{array}{l} {\rm{ch }}T\left( {5, 0} \right) = e\left( {\left( {5, 0} \right)} \right) + e\left( {\left( {4, 1} \right)} \right) + e\left( {\left( {3, 2} \right)} \right) + \\ \;\;\;\;\;\;e\left( {\left( {2, 3} \right)} \right) + e\left( {\left( {1, 4} \right)} \right) + e\left( {\left( {0, 5} \right)} \right){\rm{ }}\\ {\rm{ch }}T\left( {4, 1} \right) = e\left( {\left( {4, 1} \right)} \right) + 2e\left( {\left( {3, 2} \right)} \right) + 2e\left( {\left( {2, 3} \right)} \right) + \\ \;\;\;\;\;e\left( {\left( {1, 4} \right)} \right){\rm{ }}\\ {\rm{ch }}T\left( {3, 2} \right) = e\left( {\left( {3, 2} \right)} \right) + e\left( {\left( {2, 3} \right)} \right) \end{array} $

而dim (Ω_k^ⓧ5)_{(a, 5-a)}=$\left (\begin{array}{l} 5\\ a \end{array} \right)$，因此可依次计算

$ \begin{array}{l} {d_{(5, 0)}} = \left( \begin{array}{l} 5\\ 5 \end{array} \right) = 1\\ {d_{(4, 1)}} = \left( \begin{array}{l} 5\\ 4 \end{array} \right)-{d_{(5, 0)}}{\rm{dim}}{\left( {T\left( {5, 0} \right)} \right)_{(4, 1)}} = 4\\ {d_{(3, 2)}} = \left( \begin{array}{l} 5\\ 3 \end{array} \right)-{d_{(5, 0)}}{\rm{dim}}{\left( {T\left( {5, 0} \right)} \right)_{(3, 2)}}-\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{d_{(4, 1)}}{\rm{dim}}{\left( {T\left( {4, 1} \right)} \right)_{(3, 2)}} = 1 \end{array} $

引理4 上述tilting模T(λ) 间的代数同态的维数如下：

(1) d_{(3, 2)(λ)}=dim hom_{Uk(2, 5)}(T(3, 2), T(λ))=$\left\{ \begin{array}{l} 1, \lambda = (3, 2) 或\lambda = (4, 1)\\ 0, \lambda = (5, 0) \end{array} \right.$

${\hat d_{(3, 2)(\lambda)}}$=dim hom_{sk(2, 5)}(T(3, 2), T(λ))=dim hom_{Uk(2, 5)}(T(3, 2), T(λ))

d_{(3, 2)(λ)}⁽¹⁾=dim hom_{uk(2, 5)}(T(3, 2), T(λ))=dim hom_{Uk(2, 5)}(T(3, 2), T(λ))

(2) d_{(4, 1)(λ)}=dim hom_{Uk(2, 5)}(T(4, 1), T(λ))=$\left\{ \begin{array}{l} 1, \; \; \lambda = (3, 2)\\ 2, \; \lambda = (4, 1)\\ 0, \; \lambda = (5, 0) \end{array} \right.$

${\hat d_{(4, 1)(\lambda)}}$=dim hom_{sk(2, 5)}(T(4, 1), T(λ))=dim hom_{Uk(2, 5)}(T(4, 1), T(λ))

d_{(4, 1)(λ)}⁽¹⁾=dim hom_{uk(2, 5)}(T(4, 1), T(λ))=dim hom_{Uk(2, 5)}(T(4, 1), T(λ))

(3) d_{(5, 0)(λ)}=dim hom_{Uk(2, 5)}(T(5.0), T(λ))=$\left\{ \begin{array}{l} 1, \lambda = (5, 0)\\ 0, \lambda = (3, 2) 或\lambda = (4, 1) \end{array} \right.$

${\hat d_{(5, 0)(\lambda)}}$=dim hom_{sk(2, 5)}(T(5.0), T(λ))=$\left\{ \begin{array}{l} 2, \lambda = (5, 0)\\ 0, \lambda = (3, 2) 或\lambda = (4, 1) \end{array} \right.$

d_{(5, 0)(λ)}⁽¹⁾=dim hom_{uk(2, 5)}(T(5.0), T(λ))=$\left\{ \begin{array}{l} 4, \lambda = (5, 0)\\ 0, \lambda = (3, 2) 或\lambda = (4, 1) \end{array} \right.$

证明 首先考虑T(λ) 作为U_k(2, 5)-模的情形.由上文的讨论，T(5, 0)≅L(5, 0)，T(3, 2)≅L(3, 2), soc T(4, 1)≅L(3, 2), T(4, 1)/Rad T(4, 1)≅L(3, 2)，不难看出它们间的代数同态的维数如引理所述.由Steinberg张量积定理，有

(1) L(3, 2)|_{sk(2, 5)}≅${\hat L_1}$(3, 2), L(3, 2)|_{uk(2, 5)}≅L₁(3, 2).

(2) L(4, 1)|_{sk(2, 5)}≅L(0)ⓧL(3)|_{sk(2, 5)}≅k₍₃₎⊕k_(-3), L(4, 1)|_{uk(2, 5)}≅L(0)ⓧL(3)|_{uk(2, 5)}≅k₍₀₎⊕k₍₀₎.

(3) L(5, 0)|_{sk(2, 5)}≅${\hat L_1}$(5, 0)⊕${\hat L_1}$(2, 3), L(5, 0)|_{uk(2, 5)}≅L₁(2)⊕L₁(2).

这里${\hat L_1}$(λ) 和L₁(λ) 分别表示gl_k(2)₁T和gl_k(2)₁对应的单模 (参看文献[5]第三章)，k_(α)、α∈Z表示权为α的一维模空间.同理可得T(λ) 限制在s_k(2, 5), u_k(2, 5) 上的情形.因此，可以分别得到End_{Uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5)、End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 与End_{uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 的维数如下：

(1) dim End_{Uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5)=$\sum\limits_{\lambda, \mu \in \mathit{\Lambda }(2.5)} {{d_\lambda }{d_\mu }{d_{(\lambda)(\mu)}}} = 42$.

(2) dim End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5)=$\sum\limits_{\lambda, \mu \in \mathit{\Lambda }(2.5)} {{d_\lambda }{d_\mu }{{\hat d}_{(\lambda)(\mu)}}} = 43$.

(3) dim End_{uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5)=$\sum\limits_{\lambda, \mu \in \mathit{\Lambda }(2.5)} {{d_\lambda }{d_\mu }d_{(\lambda)(\mu)}^{(1)}} = 45$.

当l>5时，U_k(2, 5)=s_k(2, 5)=u_k(2, 5)，此时End_{Uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5)=End_{uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 同构于Hecke代数H(5) 模去其作用于张量空间Ω_k^ⓧ5上的核后所得的商代数，并且T(5, 0)≅L(5, 0), T(4, 1)≅L(4, 1), T(3, 2)≅L(3, 2).与l=3时的讨论相类似，有d_{(5, 0)}=1, d_{(4, 1)}=4, d_{(3, 2)}=5, 并且d_(λ)(μ)=δ_(λ)(μ).因此可得End_{uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 半单且dim End_{uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5)=42.

当l=5时，由上述引理，T(4, 1)≅L(4, 1), T(3, 2)≅L(3, 2)，而T(5, 0) 有如下滤过：

$ 0 \subseteq {M_1} \subseteq {M_2} \subseteq T(5, 0) $

其中M₁≅L(4, 1), M₂≅Δ(5, 0).同理可得d_{(5, 0)}=1, d_{(4, 1)}=3, d_{(3, 2)}=5并且d_(λ)(μ)=${\hat d_{(\lambda)(\mu)}}$=d_(λ)(μ)⁽¹⁾.因此可得End_{Uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5)=End_{uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 并且dim End_{uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5)=42.事实上，对任意的满足r < 2l-1的r和l，均有End_{Uk(2, r)}(Ω_k^ⓧr)=End_{uk(2, r)}(Ω_k^ⓧr).

以下两节取定l=3.

3 End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 的结构

记$\hat T (\lambda)$:=T(λ)|_{sk(2, 5)}，Ω_k^ⓧ5作为s_k(2, 5) 的表示空间有如下分解：

$ \begin{array}{l} \mathit{\Omega }_k^{ \otimes 5}\left| {_{{s_k}(2, 5)}} \right. = \mathop \oplus \limits_{i = 1}^4 \hat T{(4, 1)^{(i)}} \oplus \hat T(3, 2) \oplus \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{\hat L}_1}(5, 0) \oplus {{\hat L}_1}(2, 3) \end{array} $

定义1 设M为$\mathit{\Omega }_k^{ \otimes 5}\left| {_{{s_k}(2, 5)}} \right.$在上述分解中的某一直和项，分别定义End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 中元素s_{(4, 1)(i)}(1≤i≤4)、s_{(3, 2)}、η_{(5, 0)(1)}、η_{(5, 0)(2)}、t_{(4, 1)(3, 2)}、t_{(3, 2)(4, 1)}，如下所示：

(1) s_{(4, 1)(i)}(M)=$\left\{ \begin{array}{l} \hat T{(4, 1)^{(i + 1)}}, \; \; M = \hat T{(4, 1)^{(i)}}, 1 \le i \le 3\\ \hat T{(4, 1)^{(1)}}, \; \; \; \; M = \hat T{(4, 1)^4}, i = 4\\ 0, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 其他情形\end{array} \right.$

(2) s_{(3, 2)}(M)=$\left\{ \begin{array}{l} \hat T (3, 2), \; \; \; M = \hat T (3, 2)\\ 0, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 其他情形\end{array} \right.$

(3) η_{(5, 0)(j)}(M)=$\left\{ \begin{array}{l} {{\hat L}_1}(5, 0), \; \; \; \; M = {{\hat L}_1}(5, 0), j = 1\\ {{\hat L}_1}(2, 3), \; \; \; M = {{\hat L}_1}(2, 3), j = 2\\ 0, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 其他情形\end{array} \right.$

(4) t_{(4, 1)(3, 2)}(M)=$\left\{ \begin{array}{l} \hat T (3, 2), \; \; \; M = \hat T{(4, 1)^{(1)}}\\ 0, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 其他情形\end{array} \right.$

(5) t_{(3, 2)(4, 1)}(M)=$\left\{ \begin{array}{l} \hat T{(4, 1)^{(1)}}, \; \; \; M = \hat T (3, 2)\\ 0, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 其他情形\end{array} \right.$

为方便之后的讨论，定义s_{(4, 1)(i+4)}:=s_{(4, 1)(i)}, s_{(4, 1)}⁽ⁱ⁾=s_{(4, 1)(i+3)}s_{(4, 1)(i+2)}s_{(4, 1)(i+1)}s_{(4, 1)(i)}.

定理2 定义1中给出的元素为End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 的一组生成元.

证明 记S_{(4, 1)}为由s_{(4, 1)(i)}(1≤i≤4) 生成的子代数.由引理4及定义1，直和项$\hat T (4, 1)$⁽ⁱ⁾到$\hat T (4, 1)$^(j)间的同构形如ks_{(4, 1)(j-1)}…s_{(4, 1)(i+1)}s_{(4, 1)(i)}，$\hat T (4, 1)$⁽ⁱ⁾到$\hat T (3, 2)$的满同态形如kt_{(4, 1)(3, 2)}s_{(4, 1)(4)}…s_{(4, 1)(i+1)}s_{(4, 1)(i)}, $\hat T (4, 1)$⁽ⁱ⁾到soc $\hat T (4, 1)$^(j)满同态形如ks_{(4, 1)(j-1)}…s_{(4, 1)(i+1)}s_{(4, 1)(1)}t_{(3, 2)(4, 1)}t_{(4, 1)(3, 2)}s_{(4, 1)(4)}…s_{(4, 1)(i+1)}s_{(4, 1)(i)}.因此，hom_{sk(2, 5)}($\mathop \oplus \limits_{i = 1}^4 \hat T{(4, 1)^{(i)}}$, Ω_k^ⓧ5) 中的元素均可由形如s、t_{(4, 1)(3, 2)}s、st_{(3, 2)(4, 1)}t_{(4, 1)(3, 2)}s的元素线性张成, 其中s∈S_{(4, 1)}.

同理，hom_{sk(2, 5)}($\hat T (3, 2)$, Ω_k^ⓧ5) 中元素均可由形如s_{(3, 2)}和st_{(3, 2)(4, 1)}的元素线性张成，s∈S.因此{s_{(4, 1)(i)}(1≤i≤4), s_{(3, 2)}, η_{(5, 0)(1)}, η_{(5, 0)(2)}, t_{(4, 1)(3, 2)}, t_{(3, 2)(4, 1)}}为End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 的一组生成元.

同样由上述生成元的定义，可得下述引理.

引理5 End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 的上述生成元满足如下关系式，其中x、y为生成元中某一元素.

(1) s_{(4, 1)(i)}s_{(4, 1)}⁽ⁱ⁾=s_{(4, 1)(i)}; s_{(4, 1)(i)}s_{(4, 1)(j)}=0, i≠j+1;xs_{(4, 1)(i)}=0, x≠t_{(4, 1)(3, 2)}, i≠4;s_{(4, 1)(i)}y=0, y≠t_{(3, 2)(4, 1)}, i≠1.

(2) s_{(3, 2)}t_{(4, 1)(3, 2)}=t_{(4, 1)(3, 2)}s_{(4, 1)}⁽¹⁾=t_{(4, 1)(3, 2)}; xt_{(4, 1)(3, 2)}=0，x≠s_{(3, 2)}, t_{(3, 2)(4, 1)}; t_{(4, 1)(3, 2)}y=0，y≠s_{(4, 1)(4)}.

(3) t_{(3, 2)(4, 1)}s_{(3, 2)}=s_{(4, 1)}⁽¹⁾t_{(3, 2)(4, 1)}=t_{(3, 2)(4, 1)}; xt_{(3, 2)(4, 1)}=0，x≠s_{(4, 1)(1)}; t_{(3, 2)(4, 1)}y=0，y≠s_{(3, 2)}, t_{(4, 1)(3, 2)}.

(4) (s_{(3, 2)})²=s_{(3, 2)}; xs_{(3, 2)}=0，x≠s_{(3, 2)}, t_{(3, 2)(4, 1)}; s_{(3, 2)}y=0，y≠s_{(3, 2)}, t_{(4, 1)(3, 2)}.

(5) (η_{(5, 0)(j)})²=η_{(5, 0)(j)}; xη_{(5, 0)(j)}=η_{(5, 0)(j)}x=0，x≠η_{(5, 0)(j)}.

由定义1及上述关系式，有 (s_{(4, 1)}⁽ⁱ⁾)²=s_{(4, 1)}⁽ⁱ⁾, (s_{(3, 2)})²=s_{(3, 2)}, (η_{(5, 0)(j)})²=η_{(5, 0)(j)}，并且s_{(4, 1)}⁽ⁱ⁾∈hom_{sk(2, 5)}($\hat T (4, 1)$⁽ⁱ⁾, $\hat T (4, 1)$⁽ⁱ⁾), s_{(3, 2)}∈hom_{sk(2, 5)}($\hat T (3, 2)$, $\hat T (3, 2)$), 以及η_{(5, 0)(1)}∈hom_{sk(2, 5)}(${\hat L_1}$(5, 0), ${\hat L_1}$(5, 0)), η_{(5, 0)(2)}∈hom_{sk(2, 5)}(${\hat L_1}$(2, 3), ${\hat L_1}$(2, 3))，因此End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 有如下极小单位分解：

$ 1 = \sum\limits_{i = 1}^4 {s_{(4, 1)}^{(i)}} + s(3, 2) + {\eta _{(5, 0)(1)}} + {\eta _{(5, 0)(2)}} $

记P_{(4, 1)}⁽ⁱ⁾=End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5)·s_{(4, 1)}⁽ⁱ⁾, P_{(3, 2)}=End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5)·s_{(3, 2)}, P_{(5, 0)}^(j)=End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5)·η_{(5, 0)(j)}, 同时R_(λ)⁽ⁱ⁾=Rad P_(λ)⁽ⁱ⁾, U_(λ)⁽ⁱ⁾=P_(λ)⁽ⁱ⁾/R_(λ)⁽ⁱ⁾.注意若λ不是Steinberg权，则P_(λ)⁽ⁱ⁾≅P_(λ)^(j).

定理3 End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 的射影模P_{(4, 1)}⁽¹⁾、P_{(3, 2)}、P_{(5, 0)}⁽¹⁾、P_{(5, 0)}⁽²⁾的结构如下：

(1) (R_{(4, 1)}⁽¹⁾)³=0, (R_{(4, 1)}⁽¹⁾)²=span_k{t_{(3, 2)(4, 1)}t_{(4, 1)(3, 2)}, s_{(4, 1)(1)}t_{(3, 2)(4, 1)}t_{(4, 1)(3, 2)}, s_{(4, 1)(2)}s_{(4, 1)(1)}t_{(3, 2)(4, 1)}t_{(4, 1)(3, 2)}, s_{(4, 1)(3)}s_{(4, 1)(2)}s_{(4, 1)(1)}t_{(3, 2)(4, 1)}t_{(4, 1)(3, 2)}}, R_{(4, 1)}⁽¹⁾=span_k{t_{(4, 1)(3, 2)}}⊕(R_{(4, 1)}⁽¹⁾)², P_{(4, 1)}⁽¹⁾=span_k{s_{(4, 1)}⁽¹⁾, s_{(4, 1)(1)}, s_{(4, 1)(2)}s_{(4, 1)(1)}, s_{(4, 1)(3)}s_{(4, 1)(2)}s_{(4, 1)(1)}}⊕R_{(4, 1)}⁽¹⁾, 并且 (R_{(4, 1)}⁽¹⁾)²≅U_{(4, 1)}⁽¹⁾, R_{(4, 1)}⁽¹⁾/(R_{(4, 1)}⁽¹⁾)²≅U_{(3, 2)}⁽¹⁾.

(2) (R_{(3, 2)}⁽¹⁾)²=0, R_{(3, 2)}⁽¹⁾=span_k{t_{(3, 2)(4, 1)}, s_{(4, 1)(1)}t_{(3, 2)(4, 1)}, s_{(4, 1)(2)}s_{(4, 1)(1)}t_{(3, 2)(4, 1)}, s_{(4, 1)(3)}s_{(4, 1)(2)}s_{(4, 1)(1)}t_{(3, 2)(4, 1)}}, P_{(3, 2)}⁽¹⁾=span_k{s_{(3, 2)}}⊕R_{(3, 2)}⁽¹⁾, 并且R_{(3, 2)}⁽¹⁾≅U_{(4, 1)}⁽¹⁾.

(3) R_{(5, 0)}⁽¹⁾=R_{(5, 0)}⁽²⁾=0, P_{(5, 0)}⁽¹⁾=span_k{η_{(5, 0)(1)}}, P_{(5, 0)}⁽²⁾=span_k{η_{(5, 0)(2)}}.

证明 给出定理3(1) 的证明，同理可得定理3(2) 和 (3).s_{(4, 1)}⁽¹⁾作为左End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 模P_{(4, 1)}⁽¹⁾的生成元，由定义1和引理5、定理3(1) 中张成P_{(4, 1)}⁽¹⁾的元素穷举了所有可由s_{(4, 1)}⁽¹⁾生成的End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 的基元素 (它是hom_{sk(2, 5)}($\hat T (4, 1)$⁽¹⁾, Ω_k^ⓧ5) 的一组基).由引理5 (1), 可得{s_{(4, 1)}⁽¹⁾, s_{(4, 1)(1)}, s_{(4, 1)(2)}s_{(4, 1)(1)}, s_{(4, 1)(3)}s_{(4, 1)(2)}s_{(4, 1)(1)}}中的元素可以相互生成，同理{t_{(3, 2)(4, 1)}t_{(4, 1)(3, 2)}, s_{(4, 1)(1)}t_{(3, 2)(4, 1)}t_{(4, 1)(3, 2)}, s_{(4, 1)(2)}s_{(4, 1)(1)}t_{(3, 2)(4, 1)}t_{(4, 1)(3, 2)}, s_{(4, 1)(3)}s_{(4, 1)(2)}s_{(4, 1)(1)}t_{(3, 2)(4, 1)}t_{(4, 1)(3, 2)}}中的元素也可以相互生成.而由引理5(2) 和 (3), s_{(4, 1)}⁽¹⁾可生成t_{(4, 1)(3, 2)}，t_{(4, 1)(3, 2)}可生成t_{(3, 2)(4, 1)}t_{(4, 1)(3, 2)}, 反之不行，因此分别得到 (R_{(4, 1)}⁽¹⁾)²、R_{(4, 1)}⁽¹⁾、P_{(4, 1)}⁽¹⁾如定理所述的一组基.余下的结论就容易得到了.

4 End_{uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 的结构

r=5(r较小) 时，End_{uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 与End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 的结构十分类似，仿照上一节的内容给出结论，证明是完全类似的.

记T⁽¹⁾(λ):=T(λ)|_{uk(2, 5)}，Ω_k^ⓧ5作为u_k(2, 5) 的表示空间有如下分解：

$ \begin{array}{l} \mathit{\Omega }_k^{ \otimes 5}\left| {_{{s_k}(2, 5)}} \right. = \mathop \oplus \limits_{i = 1}^4 {{\hat T}^{(1)}}{(4, 1)^{(i)}} \oplus {T^{(1)}}(3, 2) \oplus \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{L_1}{(2)^{(1)}} \oplus {L_1}{(2)^{(2)}} \end{array} $

定义2 设M为Ω_k^ⓧ5|_{uk(2, 5)}的上述分解中的某一直和项，分别定义End_{uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 中元素s_{(4, 1)(i)}(1≤i≤4)、s_{(3, 2)}、θ_{(5, 0)(1)}、θ_{(5, 0)(2)}、t_{(4, 1)(3, 2)}、t_{(3, 2)(4, 1)}，如下所示：

(1) s_{(4, 1)(i)}(M)=$\left\{ \begin{array}{l} {T^{(1)}}{(4, 1)^{(i + 1)}}, \; \; M = {T^{(1)}}{(4, 1)^{(i)}}, 1 \le i \le 3\\ {T^{(1)}}{(4, 1)^{(1)}}, \; \; \; M = {T^{(1)}}{(4, 1)^{(4)}}, i = 4\\ 0, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 其他情形\end{array} \right.$

(2) s_{(3, 2)}(M)=$\left\{ \begin{array}{l} {T^{(1)}}(3, 2), \; \; M = {T^{(1)}}(3, 2)\\ 0, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 其他情形\end{array} \right.$

(3) θ_{(5, 0)(j)}(M)=$\left\{ \begin{array}{l} {L_1}{(2)^{(2)}}, \; \; \; M = {L_1}{(2)^1}, j = 1\\ {L_1}{(2)^{(1)}}, \; \; \; M = {L_1}{(2)^2}, j = 2\\ 0, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 其他情形\end{array} \right.$

(4) t_{(4, 1)(3, 2)}(M)=$\left\{ \begin{array}{l} {T^{(1)}}(3, 2), \; \; \; \; M = {T^{(1)}}{(4, 1)^{(1)}}\\ 0, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 其他情形\end{array} \right.$

(5) t_{(3, 2)(4, 1)}(M)=$\left\{ \begin{array}{l} {T^{(1)}}{(4, 1)^{(1)}}, \; \; \; \; M = {T^{(1)}}(3, 2)\\ 0, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 其他情形\end{array} \right.$

附注1 注意事实上{s_{(4, 1)(i)}(1≤i≤4), s_{(3, 2)}, t_{(4, 1)(3, 2)}, t_{(3, 2)(4, 1)}}End_{Uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5)，可直接验证这些元素与e⁽³⁾、f⁽³⁾、k_λ交换.

类似地定义θ_{(5, 0)(j+2)}=θ_{(5, 0)(j)}, θ_{(5, 0)}^(j)=θ_{(5, 0)(j+1)}θ_{(5, 0)(j)}.

引理6 定义2中给出的元素为End_{uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 的一组生成元且满足如下关系式：

(1) s_{(4, 1)(i)}s_{(4, 1)}⁽ⁱ⁾=s_{(4, 1)(i)}; s_{(4, 1)(i)}s_{(4, 1)(j)}=0，i≠j+1;xs_{(4, 1)(i)}=0，x≠t_{(4, 1)(3, 2)}, i≠4;s_{(4, 1)(i)}y=0，y≠t_{(3, 2)(4, 1)}, i≠1.

(2) s_{(3, 2)}t_{(4, 1)(3, 2)}=t_{(4, 1)(3, 2)}s_{(4, 1)}⁽¹⁾=t_{(4, 1)(3, 2)}; xt_{(4, 1)(3, 2)}=0，x≠s_{(3, 2)}, t_{(3, 2)(4, 1)}; t_{(4, 1)(3, 2)}y=0，y≠s_{(4, 1)(4)}.

(3) t_{(3, 2)(4, 1)}s_{(3, 2)}=s_{(4, 1)}⁽¹⁾t_{(3, 2)(4, 1)}=t_{(3, 2)(4, 1)}; xt_{(3, 2)(4, 1)}=0，x≠s_{(4, 1)(1)}; t_{(3, 2)(4, 1)}y=0，y≠s_{(3, 2)}, t_{(4, 1)(3, 2)}.

(4) (s_{(3, 2)})²=s_{(3, 2)}; xs_{(3, 2)}=0，x≠s_{(3, 2)}, t_{(3, 2)(4, 1)}; s_{(3, 2)}y=0，y≠s_{(3, 2)}, t_{(4, 1)(3, 2)}.

(5) θ_{(5, 0)(j)}θ_{(5, 0)}^(j)=θ_{(5, 0)(j)}; xθ_{(5, 0)(j)}=θ_{(5, 0)(j)}x=0，x≠θ_{(5, 0)(j+1)}.

由定义2及上述关系式，End_{uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 有如下极小单位分解：

$ 1 = \sum\limits_{i = 1}^4 {s_{(4, 1)}^{(i)}} + s(3, 2) + {\theta _{(5, 0)(1)}} + {\theta _{(5, 0)(2)}} $

仍记P_{(4, 1)}⁽ⁱ⁾=End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5)·s_{(4, 1)}⁽ⁱ⁾, P_{(3, 2)}=End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5)·s_{(3, 2)}, P_{(5, 0)}^(j)=End_{sk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5)·θ_{(5, 0)(j)}.同时R_(λ)⁽ⁱ⁾=Rad P_(λ)⁽ⁱ⁾, U_(λ)⁽ⁱ⁾=P_(λ)⁽ⁱ⁾/R_(λ)⁽ⁱ⁾.注意P_(λ)⁽ⁱ⁾≅P_(λ)^(j).

定理4 End_{uk(2, 5)}(Ω_k^ⓧ5) 的射影模P_{(4, 1)}⁽¹⁾、P_{(3, 2)}、P_{(5, 0)}⁽¹⁾结构如下：

(1) (R_{(4, 1)}⁽¹⁾)³=0, (R_{(4, 1)}⁽¹⁾)²=span_k{t_{(3, 2)(4, 1)}t_{(4, 1)(3, 2)}, s_{(4, 1)(1)}t_{(3, 2)(4, 1)}t_{(4, 1)(3, 2)}, s_{(4, 1)(2)}s_{(4, 1)(1)}t_{(3, 2)(4, 1)}t_{(4, 1)(3, 2)}, s_{(4, 1)(3)}s_{(4, 1)(2)}s_{(4, 1)(1)}t_{(3, 2)(4, 1)}t_{(4, 1)(3, 2)}}，R_{(4, 1)}⁽¹⁾=span_k{t_{(4, 1)(3, 2)}}⊕(R_{(4, 1)}⁽¹⁾)²; P_{(4, 1)}⁽¹⁾=span_k{s_{(4, 1)}⁽¹⁾, s_{(4, 1)(1)}, s_{(4, 1)(2)}s_{(4, 1)(1)}, s_{(4, 1)(3)}s_{(4, 1)(2)}s_{(4, 1)(1)}}⊕R_{(4, 1)}⁽¹⁾，并且 (R_{(4, 1)}⁽¹⁾)²≅U_{(4, 1)}⁽¹⁾, R_{(4, 1)}⁽¹⁾/(R_{(4, 1)}⁽¹⁾)²≅U_{(3, 2)}⁽¹⁾.

(2) (R_{(3, 2)}⁽¹⁾)²=0, R_{(3, 2)}⁽¹⁾=span_k{t_{(3, 2)(4, 1)}, s_{(4, 1)(1)}t_{(3, 2)(4, 1)}, s_{(4, 1)(2)}s_{(4, 1)(1)}t_{(3, 2)(4, 1)}, s_{(4, 1)(3)}s_{(4, 1)(2)}s_{(4, 1)(1)}t_{(3, 2)(4, 1)}}，P_{(3, 2)}⁽¹⁾=span_k{s_{(3, 2)}}⊕R_{(3, 2)}⁽¹⁾，并且R_{(3, 2)}⁽¹⁾≅U_{(4, 1)}⁽¹⁾.

(3) R_{(5, 0)}⁽¹⁾=0, P_{(5, 0)}⁽¹⁾=span_k{θ_{(5, 0)(1)}, θ_{(5, 0)}⁽¹⁾}.