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  同济大学学报(自然科学版)  2017, Vol. 45 Issue (6): 791-798, 813.  DOI: 10.11908/j.jssn.0253-374x.2017.06.001
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引用本文  

罗永峰, 刘俊. 既有空间结构位形推算的随机偏差方法[J]. 同济大学学报(自然科学版), 2017, 45(6): 791-798, 813. DOI: 10.11908/j.jssn.0253-374x.2017.06.001.
LUO Yongfeng, LIU Jun. Stochastic Deviation Method of Reckoning Geometric Shapes of Existing Spatial Structures[J]. Journal of Tongji University (Natural Science), 2017, 45(6): 791-798, 813. DOI: 10.11908/j.jssn.0253-374x.2017.06.001

基金项目

国家自然科学基金(51678431)

第一作者

罗永峰(1957—),男,教授,博士生导师,工学博士,主要研究方向为钢结构理论与施工技术.E-mail:yfluo93@tongji.edu.cn

文章历史

收稿日期:2016-08-21
既有空间结构位形推算的随机偏差方法
罗永峰 , 刘俊     
同济大学 土木工程学院,上海 200092
摘要:根据未测节点空间位置的不确定性和随机分布特性,提出了结构位形推算的随机偏差方法.结合空间结构特点,给出随机偏差方法的抽样测点选取原则和最小样本容量确定方法.基于概率论及数理统计理论,给出随机偏差方法的偏差分布推断方法.引入先验信息概念,基于贝叶斯统计理论,给出有先验信息条件下的参数推断方法.对实际网壳结构采用该随机偏差方法推算结构实际位形,并进行整体稳定性分析,结果表明基于随机偏差方法的鉴定分析结果更符合实际.
关键词空间结构    位形推算    随机偏差    分布推断    先验信息    
Stochastic Deviation Method of Reckoning Geometric Shapes of Existing Spatial Structures
LUO Yongfeng , LIU Jun     
College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China
Abstract: According to the uncertainty and the inherent randomness of un-measured nodal positions, a stochastic deviation method (SDM) was proposed to reckon the geometric shapes of existing spatial structures. In a consideration of the characteristics of spatial structures, the sampling principle and the minimum sample size calculation approach in SDM were given. Based on the probability and the statistics theory, the procedure for inferring the random fields of nodal position deviations was built. In addition, the prior information concept was introduced into SDM, and approaches for inferring the stochastic parameters with prior information were put forward based on the Bayesian statistics theory. Finally, the proposed SDM was adopted to reckon the geometric shape of reticulated shell structures, and the nonlinear static stability analysis was carried out using SDM-determined structural spatial positions. It is shown that SDM can give realistic results and be used for the appraisal of existing spatial structures.
Key words: spatial structures    geometric reckoning    stochastic deviation    distribution inference    prior information    

对既有空间结构进行定期或适时的检测、鉴定与维护,是保障结构安全且正常使用的前提和必要条件[1].国内《高耸与复杂钢结构检测与鉴定标准》(GB 51008—2016) [2]、《钢结构检测与鉴定技术规程》(DG/TJ 08—2011—2007) [3]和国际《Bases for design of structures——assessment of existing structures》(ISO 13822—2010) [4]均指出,既有结构鉴定分析采用的计算模型应是根据结构实际状况建立的二维或三维模型,并应符合结构的实际构造和实际工作状态.然而,对既有空间结构的几何位形进行完全测量是不经济且没有必要的,有时甚至是不可能的,因而实际工程结构检测通常采用抽样测量的方法.由于抽样测量数据只能准确描述已测节点的位置,而未测节点的位置理论上就存在着不确定性,因此相对于整体结构而言,抽样测量得到的数据是不完备的.要进行既有空间结构的鉴定验算,就必须通过抽样测量得到的不完备数据信息进行反演推算,从而形成结构的整体位形.

目前,由于缺乏关于既有结构整体位形反演推算的理论成果,实际结构工程鉴定中结构整体几何位形的确定只能采用近似方法.常用的近似方法主要有两种:一是完全按照结构设计的几何信息确定;二是已测节点位置采用实际信息,未测节点位置依然采用设计信息来建立结构几何模型.几何缺陷对网壳结构、张弦梁结构和弦支穹顶结构等类型的空间结构整体稳定性的影响至关重要.既有结构整体位形是客观存在的,其缺陷具有确定的大小和分布模式,而拟建结构的整体位形是理想化的、没有缺陷的,整体稳定性分析所考虑的缺陷通过假定的虚拟模式引入,这种假定缺陷和结构的实际缺陷可能完全不同,因而采用设计信息建模的鉴定分析结果可能与结构实际状态存在很大差异.研究表明[5-7],存在几何缺陷的此类既有空间结构鉴定计算采用不确定性模型更为恰当.然而,如何选取测点,如何根据抽样测量样本数据扩展形成结构整体模型,目前还没有相应的理论方法,也缺乏相应的研究成果.

本文针对既有空间结构位形的反演推算方法进行研究,提出推算未测节点位置的随机偏差方法,包括抽样测点选取、偏差分布推断和先验信息引入方法,并用实际工程案例对本文新方法进行了验证.

1 随机偏差方法原理

既有空间结构的实际位形往往不同于设计位形,这种位形差异主要产生于结构的施工误差和使用变形.结构使用变形导致节点位置偏离设计位置,位置偏差不具有随机分布特征,此时结构位形不能依据设计位形确定,而应通过抽样测量部分节点实际位置、再采用曲面拟合的方法推算结构位形.若结构在使用期间未发生较大变形,则节点实际位置与设计位置的偏差主要由施工误差引起.由于施工误差受安装设备、安装技术、工人技术水平等因素影响,往往具有明显的随机分布特征[8].据此,本文针对有施工误差的既有空间结构,根据节点实际位置与设计位置偏差服从的概率分布,提出一种以设计位置为中心,推算既有空间结构实际位形的新方法,称之为随机偏差方法.

随机偏差方法假定节点位置偏差服从某种概率形式分布,然后根据抽样检测数据对这一分布形式进行拟合推断并验证,进而将其作为确定未测节点位置的依据.该方法根据节点设计位置和实际偏差的概率分布,建立结构鉴定分析的不确定几何模型,进而进行蒙特卡罗随机有限元分析以及结构鉴定计算分析.相对于目前常用的近似方法,本文的随机偏差方法推算结果更符合实际情况,也比曲面拟合等方法所需的测点数量更少.

如何确定节点位置偏差分布的形式和参数是随机偏差方法的关键.空间结构节点数量往往较多,且结构施工误差受诸多因素影响,目前的研究认为,节点位置偏差近似服从正态分布[9].Chen等[10]对深圳某单层网壳结构节点位置偏差实测数据进行绘图法分析,结果表明偏差服从正态分布.唐敢等[11]对南通体育会展中心体育馆屋盖和六个试验模型节点位置偏差的实测数据采用假设检验方法进行分析,研究表明偏差符合2倍标准差范围内的截断正态分布.刘学春等[12]对2008年奥运会羽毛球馆弦支穹顶结构节点的位置偏差测量数据采用绘图法进行分析,结果表明竖向偏差接近正态分布,水平偏差介于正态分布和均匀分布之间.目前,概率论与数理统计理论中已有较为成熟的统计推断方法,但结构节点位置偏差分布推断尚没有系统的理论与方法,相关研究也较少[13].此外,如何进行测点选取和引入先验信息也是随机偏差方法需要解决的理论问题.

2 测点选取原则

既有空间结构测点的抽样选取是应用随机偏差方法的第一个理论问题.现场测量节点的抽样数量取决于结构整体成形精度和检测成本.样本容量过小,会导致参数估计精度降低,同时未测节点数量增加也会导致几何模型可靠度降低;样本量过大,则会造成检测成本过高,确定样本容量应综合考虑几何精度和检测成本.实际结构检测鉴定中,基于经济与安全因素及要求,往往需要制定在满足可靠性分析基本要求条件下抽样数量最少的测量方案.

根据中心极限定理,无论节点实际位置与设计位置的偏差X服从何种分布,节点数量n较大时,可以近似认为偏差统计量J服从标准正态分布[14],如下所示:

$J=\sqrt{n}\frac{\bar{x}-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$ (1)

式中:μσ分别为偏差的期望和标准差;x为测点偏差的均值.因此,置信度为(1-α)的μ双侧置信区间宽度为 $2{Z_{1 - \frac{\alpha }{2}}}\frac{\sigma }{{\sqrt n }}$ ,其中 ${Z_{1 - \frac{\alpha }{2}}}$ 为标准正态分布 ${\left( {1 - \frac{\alpha }{2}} \right)}$ 分位数.若n越小,则置信区间宽度越大,表明统计推断精度越低.为此,本文对置信区间宽度设上限值2dd可根据结构跨度及建筑重要性等因素综合确定,则由此可得节点检测抽样的最小样本容量

$n = Z_{1 - \frac{\alpha }{2}}^2\frac{{{\sigma ^2}}}{{{d^2}}}$ (2)

其中,σ需要进行预估计.参数推断中,若σ超过某个限值σcr,则认为节点偏差过大,随机偏差法不适用.因此,随机偏差法应用的前提是σ不超过σcr,以σcr代入式(2) 计算最小样本容量既合理又偏于安全.

节点总数N较小时,应采用无放回抽样法计算样本均值的方差,故式(2) 中以 $1/\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{N}} \right)$ 代替n.最小样本容量n应由下式确定:

$\frac{1}{n} = \frac{1}{N} + \frac{{{d^2}}}{{Z_{1 - \frac{\alpha }{2}}^2{\sigma ^2}}}$ (3)

在有先验信息情况下,若先验信息提供κ0个样本,则样本容量可适当减少为(n-κ0).

随机抽样原则是统计推断的前提条件,随机偏差法测点位置的选取,也必须按随机抽样法确定.若根据主观判断选取测点位置,则分布推断不可靠.由于空间结构节点数量较多,随机选取测点的另一个原则应是抽样测点分布较均匀,若抽样测点分布明显不均匀,则有理由认为测点选取不符合随机抽样原则.

3 偏差分布推断 3.1 拟合优度检验

拟合优度检验是检验数据的分布是否与某种理论分布一致的统计方法.推断既有空间结构节点位置偏差分布时,首先必须对偏差分布形式进行拟合和拟合优度检验.偏差的分布形式可先采用绘图法直观判断,再进行χ2拟合优度检验.

直方图是最为直观的图形形式之一.根据节点位置偏差分布直方图与分布密度函数图的对比,可以直观判断分布形式.但是,绘制直方图存在较大随意性,尤其是窗宽的取法,如果取得不合适,直方图就容易“失真”.此外,采用直方图无法进行定量分析,不具备说服力,因此必须对偏差的分布形式进行拟合优度检验.

假设节点位置偏差X的分布函数为F0(x),将样本空间划分为k组,pi(θ)表示偏差X落入第i组的概率,则分布可写成如下形式:

$P({a_{i - 1}} < X \le {a_i}) = {p_i}\left( \theta \right),1 \le i \le k$ (4)

式中:ai为分组节点;θ=(θ1, …, θr)为r个未知参数.用偏差的抽样测量数据(x1, …, xn)计算得到估计量 ${\hat \theta }$ 代替θ,以ξi记偏差样本落入第i组的个数,则假设检验的统计量χ2计算式为

${\chi ^2} = \sum\limits_{i = 1}^k {} \frac{{{{[{\xi _i} - n{p_i}(\hat \theta )]}^2}}}{{n{p_i}(\hat \theta )}}$ (5)

如果n较大,则可以认为χ2~χ2(k-r-1),于是假设检验的拒绝域

${W_1} = \left\{ {({x_1}, \ldots ,{x_n})|{\chi ^2} > \chi _{1 - \alpha }^2\left( {k - r - 1} \right)} \right\}$ (6)

其中,χ1-α2(k-r-1) 是χ2(k-r-1) 分布的(1-α)分位数.

若偏差的抽样测量数据(x1, …, xn)未落入拒绝域,则认为偏差符合假设的分布,否则认为不符合.

一般假设结构节点位置某方向偏差值服从正态分布,其中参数μσ均未知,由测量样本的均值x和样本的标准差s分别代替.将实数轴(-∞, +∞)分成k组(ai-1, ai](i=1, …, ka0取-∞,ak取+∞),则

${p_i} = P{\rm{ }}({a_{i - 1}} < X \le {a_i}) = \mathit{\Phi }\left( {\frac{{{a_i} - \bar x}}{s}} \right) - \mathit{\Phi }\left( {\frac{{{a_{i - 1}} - \bar x}}{s}} \right)$ (7)

其中,Φ(x)为标准正态分布.若χ2χ1-α2(k-3),则认为偏差服从正态分布,否则认为不服从.

进行χ2拟合优度检验测点数量不宜过少,一般要求n≥50,同时要求npi≥5.分组对检验也有一定影响,宜采用等概率分组,即pi=k-1,分组数量一般取 $2n\frac{2}{5}$ [15].

3.2 独立性检验

节点位置不同方向的偏差是否相互独立,可通过显著性检验进行判定.设同一节点两个不同方向上的偏差(X, Y)为二维随机变量,假设X和Y相互独立.在两个维度上将实数轴分别分为v组(ai-1, ai](i=1, …, v)和w组(bj-1, bj](j=1, …, w),则二维空间分成v×w组,以ξij记落入各组内的测点数量.根据XY相互独立,有

$\begin{array}{l} {p_{ij}} = P{\rm{ }}({a_{i - 1}} < X \le {a_i},{b_{j - 1}} < Y \le {b_j}) = \\ \quad \quad P{\rm{ }}({a_{i - 1}} < X \le {a_i}){\rm{ }}P{\rm{ }}({b_{j - 1}} < Y \le {b_j}) \end{array}$ (8)

因此,检验假设的统计量χ2计算式为

${\chi ^2} = \sum\limits_{j = 1}^w {\sum\limits_{i = 1}^v {} } \frac{{{{({\xi _{ij}} - n{p_{ij}})}^2}}}{{n{p_{ij}}}}$ (9)

n较大时,有χ2~χ2(m),其中m=(v-1-r1)(w-1-r2),r1r2分别为两个维度分布的未知参数数量.于是假设检验的拒绝域为

${W_1} = \left\{ {[({x_1},{y_1}), \ldots ,({x_n},{y_n})]|{\chi ^2} > \chi _{1 - \alpha }^2\left( m \right)} \right\}$ (10)

若抽样测量数据计算的结果未落入拒绝域,表明两个方向偏差不独立,否则认为相互独立.

3.3 参数推断

统计推断是根据样本所提供的信息对分布的某些未知值作出推断,形式有两类:估计与检验.既有空间结构节点位置偏差分布参数未知,但由于实际节点位置是以设计位置为中心形成的随机偏差,故偏差期望应为零,可由此对相关参数作出假设并进行假设检验.为使结构鉴定偏于安全,对与节点位置偏差程度有关的参数应进行保守的区间上限估计.

若节点位置偏差服从正态分布X~N (μ, σ2),则偏差期望应为零,因此假设μ=0.检验假设的统计量

$J=\sqrt{n}\frac{{\bar{x}}}{s}\tilde{\ }t\text{ }\left( n-1 \right)$ (11)

式中:t (n-1) 为自由度是(n-1) 的t分布.于是,显著性为α情况下假设的拒绝域

${W_1} = \left\{ {({x_1}, \ldots ,{x_n}){\rm{ }}\sqrt n \frac{{\left| {\bar x} \right|}}{s} > {t_{1 - \frac{\alpha }{2}}}\left( {n - 1} \right)} \right\}$ (12)

若偏差的抽样测量数据(x1, …, xn)未落入拒绝域内,则认为μ=0,否则拒绝原假设.

方差估计偏小,往往会使既有空间结构鉴定分析偏于不安全,为避免对节点偏差程度估计偏小,应对正态分布方差σ2进行区间估计,将单侧置信上限作为方差的估计.区间估计的统计量

$J=\frac{\left( n-1 \right)\text{ }{{s}^{2}}}{{{\sigma }^{2}}}\tilde{\ }{{\chi }^{2}}\left( n-1 \right)$ (13)

其中,χ2(n-1) 为自由度是(n-1) 的χ2分布.

于是,置信水平为(1-α)时σ2的单侧置信上限为 .

拟合优度检验结果若不能拒绝不同方向上节点偏差相互独立,则要对相关系数进行点估计.多元正态分布相关系数ΣXY的点估计

${{\hat \sum }_{XY}} = \frac{{\sum\limits_{j = 1}^n {} ({x_j} - \bar x)({y_j} - \bar y)}}{{\sum\limits_{j = 1}^n {} {{({x_j} - \bar x)}^2}\sum\limits_{j = 1}^n {} {{({y_j} - \bar y)}^2}}}$ (14)

其中,xy为不同方向测点偏差的均值.

3.4 随机偏差方法适用性

随机偏差方法基于实际节点位置偏差随机分布,而偏差的随机性主要是由施工误差引起的,如果参数μ=0的假设被否定,则表明节点有大范围同向偏差存在,即结构存在较明显的使用变形,此时,节点实际位置不再是以设计位置为中心的随机分布,本文的随机偏差方法不再适用.

既有空间结构在投入使用前必须通过施工验收,施工误差不能超过规范的规定,因此方差推断结果应满足2倍标准差小于施工误差限值.根据2σ原则,节点实际偏差不超过限值的概率约为95%.考虑实际偏差并非理想的正态分布以及结构使用期间产生的变形较小,可适当放宽标准来确定标准差临界值σcr.若方差参数推断结果σ>σcr,则随机偏差方法同样不再适用.

如果节点位置偏差数据中出现少数异常值,则表明结构存在局部变形.对于局部变形区域,节点位置应全部通过测量得到实际数据,而其他区域依然可采用随机偏差方法推算节点位置.

4 先验信息引入

对于设计信息、建造条件、使用情况等均非常相似或相同的两个结构,后检测的结构应能将先检测结构的检测结果作为参考,从而适当减少其测量工作量,基于此,本文将先验信息概念引入结构检测鉴定理论研究中.先验信息是指在抽样之前有关统计问题的一些信息,一般来说,先验信息主要源于经验和历史资料.在进行一个既有空间结构检测前,如果已有类似结构的检测经验,或者之前由于某些原因已对该结构的部分节点位置进行了测量并取得了数据,则这些经验或测量数据可以作为先验信息.这样,在根据贝叶斯统计原理进行参数推断时,就可适当减少样本容量.

贝叶斯统计原理将未知参数视为随机变量,同时利用总体信息、样本信息和先验信息,分析得到参数后验分布形式,根据后验分布进行统计推断[16].由先验信息确定θ的先验分布π(θ),将概率密度函数视为条件密度函数f (x|θ),结合样本(x1, …, xn),可由贝叶斯公式计算θ的后验分布,即

$\pi (\theta |{x_1}, \ldots ,{x_n}) = \frac{{\pi \left( \theta \right)\prod\limits_{i = 1}^n {} f{\rm{ }}({x_i}|\theta )}}{{\smallint \pi \left( \theta \right)\prod\limits_{i = 1}^n {} f{\rm{ }}({x_i}|\theta ){\rm{d}}\theta }}$ (15)

参数推断基于后验分布,用损失函数L (θ, δ)来表达参数估计值δ与实际值θ的差距,将损失函数对后验分布π(θ|x)的期望R (δ)作为风险来衡量决策的优越性.通常采用的平方损失函数为

$L{\rm{ }}\left( {\theta ,\delta } \right) = {\left( {\theta - \delta } \right)^2}$ (16)

若节点位置偏差服从正态分布X~N (μ, σ2),μσ均为未知参数,联合先验分布可选用共轭先验分布──正态倒伽玛分布,即

$\pi (\mu ,{{\sigma }^{2}})\tilde{\ }N-\text{I}\Gamma ({{\kappa }_{0}},{{\mu }_{0}},{{\upsilon }_{0}},\sigma _{0}^{2})$ (17)

其中,κ0υ0μ0σ02分别为先验分布的样本容量、自由度、均值和方差,由先验信息确定.由贝叶斯公式计算得到(μ, σ2)的联合后验分布参数为κnυnμnσn2的正态倒伽玛分布.此时,参数σ2的边缘后验分布为倒伽马分布,即

$\pi ({{\sigma }^{2}}|x)\tilde{\ }\text{I}\Gamma \left( \frac{{{\upsilon }_{n}}}{2},\frac{{{\upsilon }_{n}}\sigma _{n}^{2}}{2} \right)$ (18)

参数μ的边缘后验分布为广义t分布,即

$\pi \left( \mu |x \right)\tilde{\ }t\text{ }({{\upsilon }_{n}},{{\mu }_{n}},{{\sigma }_{n}}^{2})$ (19)

后验分布参数满足

${\kappa _n} = {\kappa _0} + n$ (20)
${\upsilon _n} = {\upsilon _0} + n$ (21)
${\mu _n} = \frac{{{\kappa _0}}}{{{\kappa _0} + n}}{\mu _0} + \frac{n}{{{\kappa _0} + n}}\bar x$ (22)
${\upsilon _n}\sigma _n^2 = {\upsilon _0}\sigma _0^2 + \left( {n - 1} \right){\rm{ }}{s^2} + \frac{n}{{{\kappa _0} + n}}{\rm{ }}{({\mu _0} - \bar x)^2}$ (23)

式中:κ0表达先验信息容量,相当于“κ0个测点”;后验样本容量κn即为先验信息和样本信息的“总测点数量”;后验均值μn为先验均值μ0和样本均值的加权平均,权为先验信息和样本信息的测点数量;后验自由度υn是先验自由度数υ0与样本数量n的和;后验平方和υnσn2是由先验平方和υ0σ02、样本平方和(n-1) s2与样本均值x和先验均值μ0之差平方相加得到.

事实上,贝叶斯统计原理在采用后验分布进行统计推断时,先采用先验信息和样本信息的综合进行分析,因此在有先验信息的情况下,节点偏差分布参数推断可以适当减少测点数量.

同样,节点位置偏差期望应为零,即μ=0.采用平方损失函数计算μ的估计值δ=0的后验风险

$R{\rm{ }}\left( {\delta = 0|x} \right) = \smallint {\left( {\mu - \delta } \right)^2}\pi \left( {\mu |x} \right){\rm{d}}\mu = E{\rm{ }}({\mu ^2}|x)$ (24)

当最小后验风险(δE (μ|x)时的后验风险)与R (δ=0|x)的比值高于某个限值时,则认为参数μ=0,否则不认为.

方差估计同样采用区间估计法,用单侧置信上限作为方差的估计值.置信水平为(1-α)时,σ2的单侧置信上限为 ${\rm{I}}{\Gamma _{1 - \alpha }}\left( {\frac{{{\upsilon _n}}}{2},\frac{{{\upsilon _n}\sigma _n^2}}{2}} \right),{\rm{I}}{\Gamma _{1 - \alpha }}\left( {\frac{{{\upsilon _n}}}{2},\frac{{{\upsilon _n}\sigma _n^2}}{2}} \right)$ 是倒伽马分布的(1-α)分位数.

5 案例分析一 5.1 结构信息

既有单层铝合金网壳模型跨度为8 m,矢高为0.5 m,体系为五环K6型,共91个节点(30个支座节点),如图 1所示.杆件截面均为H100 mm×50 mm×4 mm×5 mm,材料均采用6063T5铝合金,非支座节点均为板式节点,支座为铰接支座.

图 1 单层网壳模型 Fig.1 Single-layer lattice shell model
5.2 偏差分布推断

本算例忽略测量误差,假定不同节点同一方向上位置偏差同分布.由于模型制作误差较大,因而标准差临界值σcr按偏差限值取跨度的1/300,且适当放宽为16 mm.置信度(1-α)取95%,置信区间宽度限值d=5 mm,计算得样本数为41.

采用Matlab软件随机生成41个节点编号,测得的实际节点坐标与设计坐标偏差见表 1.

下载CSV 表 1 节点位置各方向偏差 Tab.1 Deviations of nodal position in each direction

绘制三个方向节点位置偏差频率分布直方图如图 2所示.由图可直观判断出,节点位置各方向偏差均服从正态分布.对分布形式进行拟合优度检验,结果如表 2所示.三个方向检验结果均未落入拒绝域,因此可认为各方向偏差均服从正态分布.

图 2 偏差分布直方图 Fig.2 Deviation distribution histograms
下载CSV 表 2 拟合优度检验结果 Tab.2 Results of goodness-of-fit tests

参数μ=0的假设检验结果见表 3,结果均未落入拒绝域,说明各方向均可认为偏差期望为零.方差σ2的推断结果见表 4,标准差σ及与跨度L比值也列于表 4σ均小于临界值σcr.因此,可采用随机偏差方法推算未测节点位置.对不同方向偏差独立性进行检验,将样本空间等分成4×4=16组,结果见表 5,节点各方向偏差不独立.但本案例测点数量较少,每组理论频数npij仅为2.56,可靠度较低;相关系数估计结果(见表 5)较小,表明相关性较弱,因此可忽略各方向偏差的相关性.

下载CSV 表 3 期望假设检验结果 Tab.3 Results of hypothesis tests of expectations
下载CSV 表 4 方差推断结果 Tab.4 Results of inference of variances
下载CSV 表 5 独立性检验结果 Tab.5 Results of independence tests

三个方向偏差分布分别为X~N (0, 14.962)、Y~N (0, 13.442)、Z~N (0, 3.812),不考虑各方向偏差相关性,可以将此作为未测节点实际位置与设计位置偏差的概率分布.

5.3 先验信息引入

本例选取10个节点位置信息作为测量前已经得到的先验信息,另外31个节点位置信息作为样本信息,先验和后验分布参数见表 6.

下载CSV 表 6 先验分布与后验分布参数 Tab.6 Parameters of prior distribution parameter and posterior distribution

参数μ的估计值δ=0时后验风险见表 7.最小后验风险及风险比值同样列于表 7中,风险比值均高于95%,表明接受μ=0风险足够小,此结果与5.2节假设检验结果一致.方差推断结果见表 8,与5.2节结果一致.将10个实际节点位置数据作为先验信息时,参数推断结果一致是合理的.

下载CSV 表 7 后验期望假设检验结果 Tab.7 Results of hypothesis tests of posterior expectations
下载CSV 表 8 后验方差推断结果 Tab.8 Results of inference of posterior variances
5.4 结构鉴定分析

以结构实际整体稳定承载力为例进行鉴定分析,采用有限元软件Ansys进行建模计算.杆件选用Beam188单元模拟,材料选用铝合金非线性模型,非支座节点为刚接节点,支座为固定铰支座.荷载为满跨均布0.3 kN·m-2恒载和半跨均布0.5 kN·m-2活载,荷载组合为(1.0恒+1.0活).

利用Ansys软件概率设计(PDS)模块进行蒙特卡罗随机有限元分析,未测节点以设计节点为中心,偏差分布依据5.2节结果.1 000次随机输入的概率分析计算结果如图 3所示,具有95%可靠度的整体稳定荷载因子为17.73.未测节点按设计坐标输入,按设计规范进行一致缺陷模态法分析得到的荷载因子为15.22;最大缺陷取L/300按随机缺陷模态法进行整体稳定性分析,1 000次计算得到具有95%可靠度的整体稳定因子为16.04.对所有节点位置全部测量,建立完全符合实际的几何模型,计算得到整体稳定性荷载因子为18.26.同样偏于安全的情况下,显然随机偏差方法结果更符合结构实际状态.

图 3 整体稳定系数频率分布直方图 Fig.3 Frequency histogram of overall stability factors
6 案例分析二

既有单层钢网壳模型跨度为3.6 m,矢高为0.9 m,体系为五环K6型,共91个节点(30个支座节点),如图 4所示.杆件截面均为φ6×1,焊接球半径为70 mm,材料均为Q235钢,节点均为刚接节点,支座为刚接支座.

图 4 单层网壳模型(案例2) Fig.4 Single-layer lattice shell model (case 2)

本算例忽略测量误差,标准差临界值σcr取为12 mm,计算得样本数量为22.随机选取节点,由偏差分布直方图(见图 5)和拟合优度检验结果(见表 9)可以判断偏差服从正态分布.参数μ=0的假设检验结果见表 10,方差σ2的推断结果见表 11.忽略各方向偏差的相关性,得到不同方向偏差分布分别为X~N (0, 3.502)、Y~N (0, 3.922)、Z~N (0, 3.862),以此作为未测节点位置偏差的概率分布.

图 5 偏差分布直方图(案例2) Fig.5 Deviation distribution histograms (case 2)
下载CSV 表 9 拟合优度检验结果(案例2) Tab.9 Results of goodness-of-fit tests (case 2)
下载CSV 表 10 期望假设检验结果(案例2) Tab.10 Results of hypothesis tests of expectations (case 2)
下载CSV 表 11 方差推断结果(案例2) Tab.11 Results of inference of variances (case 2)

以结构实际整体稳定承载力为例进行鉴定分析.模型中考虑焊接球为节点刚域,荷载为满跨均布0.3 kN·m-2恒载和半跨均布0.5 kN·m-2活载,荷载组合为(1.0恒+1.0活).利用Ansys软件PDS模块进行蒙特卡罗随机有限元分析,1 000次随机输入的概率分析计算结果如图 6所示,具有95%可靠度的整体稳定荷载因子为1.495.未测节点按设计坐标输入,按设计规范进行一致缺陷模态法分析得到的荷载因子为1.303;按随机缺陷模态法进行整体稳定性分析,计算得到具有95%可靠度的整体稳定因子为1.408.节点位置全部采用实测数据建立几何模型,计算得到整体稳定性荷载因子为1.606.因此,同样偏于安全的情况下,随机偏差方法结果更符合结构实际状态.

图 6 整体稳定系数频率分布直方图(案例2) Fig.6 Frequency histogram of overall stability factors (case 2)
7 结论

(1) 基于未测节点的不确定性和随机分布特性,提出了既有空间结构实际位形反演推算的随机偏差方法,根据已测节点数据推断未测节点位置偏差分布,由此建立不确定几何模型.算例分析表明,本文基于随机偏差方法的鉴定分析结果更符合结构实际状态.

(2) 结合既有空间结构特点,给出随机偏差方法的测点选取原则和最小样本容量的确定方法.

(3) 基于概率论和数理统计理论,给出适用于既有空间结构节点位置偏差的分布推断方法,包括拟合优度检验、独立性检验和参数推断方法.对偏差分布进行期望为零的假设检验,对方差用单侧置信上限值估计,根据参数推断结果判断随机偏差方法适用性.

(4) 将先验信息概念引入既有结构鉴定分析理论中,基于贝叶斯统计理论,给出适用于节点偏差分布的参数推断方法.在具有先验信息的情况下,可适当减少测点数量.

(5) 用实际案例验证了随机偏差方法的可行性与合理性.

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