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  同济大学学报(自然科学版)  2017, Vol. 45 Issue (9): 1290-1297.  DOI: 10.11908/j.issn.0253-374x.2017.09.006
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引用本文  

高广运, 聂春晓, 张海丘, 雷丹. 塑料排水板结合真空预压法的径向固结解析解[J]. 同济大学学报(自然科学版), 2017, 45(9): 1290-1297. DOI: 10.11908/j.issn.0253-374x.2017.05.002.
GAO Guangyun, NIE Chunxiao, ZHANG Haiqiu, LEI Dan. Radial Consolidation Solution of Plastic Wick Drain Combined Vacuum Preloading[J]. Journal of Tongji University (Natural Science), 2017, 45(9): 1290-1297. DOI: 10.11908/j.issn.0253-374x.2017.09.006.

基金项目

国家自然科学基金(41372271)

第一作者

高广运(1961—), 男, 教授, 博士生导师, 工学博士, 主要研究方向为土动力学和岩土地震工程. E-mail: gaoguangyun@263.net

文章历史

收稿日期:2016-09-21
塑料排水板结合真空预压法的径向固结解析解
高广运1,2, 聂春晓1,2, 张海丘3, 雷丹1,2    
1. 同济大学 土木工程学院, 上海 200092;
2. 同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室, 上海 200092;
3. Center for Geomechanics and Railway Engineering, Faculty of Engineering, University of Wollongong, Australia
摘要:塑料排水板结合真空预压的软土地基加固方法是一种经济高效并被逐渐广泛应用的地基加固方法,该方法不仅可以减少堆载预压坝体的高度,还能减少土体的侧向位移.推导的塑料排水板与真空预压结合的非线性径向固结解析解可以较好地用于该种地基加固的预测和分析.求解过程认为软土在一维固结条件下孔隙比与平均有效应力、水平渗透系数成对数线性关系,而非以前认为的一维线性关系,因排水板周围土体被扰动,所以涂抹区中水平渗透系数采用抛物线分布形式,同时还考虑真空预压对固结的作用.退化提出的解析解与前人解析解进行对比验证、完成解析解与试验结果验证,证明了该解析解的正确性.最后,分析了参数κCk/Cc对固结的影响,结果表明Ck/Cc值越大,固结时间越短,κ值增大,固结时间增长.
关键词塑料排水板    非线性土体本构    非达西定律    真空预压    径向固结    
Radial Consolidation Solution of Plastic Wick Drain Combined Vacuum Preloading
GAO Guangyun1,2, NIE Chunxiao1,2, ZHANG Haiqiu3, LEI Dan1,2     
1. College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China;
2. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of the Minisitry of Education, Tongji University, Shanghai 200092, China;
3. Center for Geomechanics and Railway Engineering, Faculty of Engineering, University of Wollongong, Australia
Abstract: A system of radial consolidation by combining the plastic wick drain with the vacuum preloading is one of the most popular way for soft ground improvement, which can not only reduce the height of surcharge preloading on dam, but also reduce the lateral displacement of soil. The consolidation solution of plastic wick drains and vacuum preloading based on the nonlinear relationship can well forecast and analyze this kind of ground improvement. In the process of analytical solution, the relationship between the void ratio and the mean effective stress, as well as the horizontal permeability coefficient under one-dimensional consolidation is considered to be semi logarithmic linear, rather than previously thought one-dimensional linear. Because of disturbing on soil around PVD in smear zone, permeability around PVD in the zone distributes in parabolic form. Besides, the effect of vacuum preloading on consolidation is taken into consideration. This analytical solution is verified through degradation method and compared with test results. Finally, the effects of κ, Ck/Cc are analyzed on consolidation. The results indicate that consolidation rate increases with the increasing of Ck/Cc and decreasing of κ.
Key words: plastic wick drains    non-linear constitutive relationship of soils    non-Darcy's law    vacuum preloading    radial consolidation    

随着我国基础设施建设的不断发展以及城镇化的不断推进,工程建设的规模和数量在加大,且多集中在沿江河湖海地区.这些地区多有软土分布,软土有含水率高、强度低、压缩性高等不良的工程特性,给工程的顺利完成和安全使用提出了挑战.

真空预压适用于处理以粘性土为主的软弱地基,具有固结快、工期短、施工简洁、且加固深度大的特点.塑料排水板虑水性好,排水通畅,且有良好的强度和延展性,能适合地基变形而不影响排水性能,可以加速地基固结.塑料排水板与真空预压相结合的软基加固方法结合二者的优点,在狭窄地段、边坡附近亦可使用,在工程中有经济高效的特点,是一种较为实用的地基处理方法.对于该种地基处理方法,目前尚未有可以预测和计算地基固结的解析解,基于此,本文分别从塑料排水板和真空预压结合的角度分析,求出适用于软粘土固结的解析解.相关结果可用于工程设计和实际应用.

目前研究塑料排水板和真空预压处理地基的方法主要有试验方法、数值方法和解析方法.有现场试验和室内试验,如张泽鹏等[1]根据现场实测证明了塑料排水板在真空预压加固软土地基中作用明显.王军等[2]提出了一种新型的防淤堵真空预压方法,改善了原排水板淤堵严重的情况.雷华阳等[3]对超软土开展室内试验,研究超软浅层真空预压加固处理前后的固结特性.数值方法有有限元法和有限差分法,如INDRATANA等[4]采用有限差分法,考虑了井阻、拱效应以及涂抹区效应在碎石桩径向排水中的作用.RUJIKIATKAMJORN等[5]借助有限元模型分析塑料排水板结合真空和堆载预压的沉降特性.董志良等[6]对真空预压法加固软基做了平面应变和三维有限元比较.也有很多学者在解析分析方面做了研究,BARRON[7]提出了等应变和自由应变解析解,后来HANSBO[8]解的广泛应用促使解析研究的进一步发展.以上研究主要以一维太沙基固结理论为基础.假设土体为线弹性体,且固结系数不发生变化,这些假设与软粘土的高压缩性、孔隙率大的特性相差甚远.李菲菲等[9]完成了考虑指数流的真空预压竖井地基固结解答.INDRARATNA等[10]在进行解析分析时考虑了有效应力和渗透系数对径向排水固结的作用,但未考虑涂抹区渗透系数的影响.

也有学者在进行解析分析时把涂抹区的渗透系数作为常数来考虑,但是SATHANANTHAN等[11]研究认为,安装塑料排水板会扰动土体,使渗透系数发生类似于抛物线规律的变化,涂抹区内的水平渗透系数大约是未经扰动区域的61%~92%.WALKER[12]在解析分析过程中考虑了水平渗透系数抛物线形的变化规律,但在求解时仍假设土体为线弹性体.张海丘等[13]考虑了涂抹区水平渗透系数的非线性分布,但该方法仍不能反映真空预压在软土固结中的作用.

设置塑料排水板的软粘土地基受到外荷载作用,土体固结渗透系数和压缩系数同时减小,因此需要考虑渗透系数的非线性变化.已广泛使用的真空预压与堆载预压相比优点显著,同时采用塑料排水板可加速软土地基固结.据此,本文提出了塑料排水板结合真空预压的径向排水固结解析解,首先从塑料排水板的工作原理出发,认为近排水板区的扰动影响土体的渗透系数,进而影响土体固结;然后基于真空预压,求得土体径向排水固结的解析解;最后采用退化验证和试验结果对比验证本文解析解,并分析了相关参数对软土固结的影响.

1 径向固结基本方程

塑料排水板平面布置一般有正方形和等边三角形两种形式,在实际工程中正方形布置操作方便,但是等边三角形布置产生的沉降更为均一,因此本文采用三角形布置进行分析.塑料排水板三角形水平面布置如图 1所示,d是两个塑料板之间的距离,图 1中圆形区域表示塑料排水板的影响区域,简化研究其工作原理,如图 2所示.在三维空间中塑料排水板简化成一圆柱体,其中,r表示半径;re为影响区半径;rw为排水板的有效排水半径;rs为涂抹区半径.ks为涂抹区水平渗透系数;kh为非涂抹区水平渗透系数;l为塑料排水板深度.

图 1 塑料排水板平面布置图 Fig.1 Layout of plastic wick drain
图 2 塑料排水板工作原理图 Fig.2 Working principle of plastic wick drain

安装塑料排水板会扰动土体,从而影响土体渗透系数,此时把渗透系数作为常数进行解析分析误差较大,因此本文采用WALKER等[12]建议的变渗透系数方法进行分析,涂抹区水平渗透系数为

$ {k_{\rm{s}}}\left( r \right) = {k_0}\left( {\kappa - 1} \right)\left( {A - B + C\frac{r}{{{r_{\rm{w}}}}}} \right)\left( {A + B - C\frac{r}{{{r_{\rm{w}}}}}} \right) $ (1)

式中:k0r=rw处的渗透系数,即表示塑料排水板表面处的渗透系数;κ=kh/k0;为了后续计算方便,在此定义A=[κ/(κ-1)]0.5B=s/(s-1);C=1/(s-1);s表示rs/rw的值.

HANSBO[8]的解析解被广泛认可,据此进行径向排水固结方程求解.塑料排水板的排水速率为

$ {q_1} = 2\pi rv\left( {{\rm{d}}z} \right) $ (2)

式中:r为半径;v为渗流速率.

土体的体积压缩变化速率为

$ {q_2} = \pi \left( {r_e^2 - {r^2}} \right)\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial t}}\left( {{\rm{d}}z} \right) $ (3)

式中:∂ε/∂t为一维固结应变速率.

假设流体不可压缩,所以饱和土体的体积压缩量等于流体流出的量,即式(2) 和式(3) 相等,得

$ 2\pi rv = \pi \left( {r_e^2 - {r^2}} \right)\left( {\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial t}}} \right) $ (4)

对于瞬态加载,应变速率表达为

$ \frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial t}} = - {m_{\rm{v}}}\frac{{\partial \bar u}}{{\partial t}} $ (5)

式中:mv是体积压缩系数.根据达西渗透定律渗流速率表达如下:

$ v' = {k_{\rm{s}}}\frac{1}{{{\gamma _{\rm{w}}}}}\frac{{\partial {u_{\rm{s}}}}}{{\partial r}};{r_{\rm{w}}} \le r \le {r_{\rm{s}}} $ (6)
$ v = {k_{\rm{h}}}\frac{1}{{{\gamma _{\rm{w}}}}}\frac{{\partial u}}{{\partial r}};{r_{\rm{s}}} \le r \le {r_{\rm{e}}} $ (7)

式中:γw是水的重度.联立式(1)、式(4)、式(6) 和式(7) 得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {u_{\rm{s}}}}}{{\partial r}} = - \frac{\kappa }{{\kappa - 1}}\frac{{\partial \bar u}}{{\partial t}}\frac{1}{{2{c_{\rm{h}}}}} \cdot }\\ {\frac{1}{{\left( {A - B + {C_{\rm{r}}}/{r_{\rm{w}}}} \right)\left( {A + B - {C_{\rm{r}}}/{r_{\rm{w}}}} \right)}}\left( {\frac{{r_{\rm{e}}^2 - {r^2}}}{r}} \right)} \end{array} $ (8)
$ \frac{{\partial u}}{{\partial r}} = - \frac{{\partial \bar u}}{{\partial t}}\frac{1}{{2{c_{\rm{h}}}}}\left( {\frac{{r_{\rm{e}}^2 - {r^2}}}{r}} \right) $ (9)

式中:ch是水平固结系数,根据边界条件,r=rw时,孔压us=(us)r=rwr=r时,us=u.分别对(8) 式和(9) 式积分得

$ \begin{array}{l} {u_{\rm{s}}} = - \frac{\kappa }{{\kappa - 1}}\frac{{\partial \bar u}}{{\partial t}}\frac{1}{{2{c_{\rm{h}}}}}\frac{1}{{2A}} \cdot \\ \left( \begin{array}{l} D\ln \left( {r/{r_{\rm{w}}}} \right) + E\ln \left( {\frac{{A - B + C\frac{r}{{{r_{\rm{w}}}}}}}{{A - B + C}}} \right) + \\ F\ln \left( {\frac{{A + B - C\frac{r}{{{r_{\rm{w}}}}}}}{{A + B - C}}} \right) \end{array} \right) + {\left( {{u_{\rm{s}}}} \right)_{r = {r_{\rm{w}}}}} \end{array} $ (10)
$ u = - \frac{{\partial \bar u}}{{\partial t}}\frac{1}{{2{c_{\rm{h}}}}}\left( {r_{\rm{e}}^2\ln \left( {r/{r_{\rm{w}}}} \right) - \frac{{{r^2}}}{2} + G} \right) + {\left( {{u_{\rm{s}}}} \right)_{r = {r_{\rm{w}}}}} $ (11)

其中,

$ D = \frac{{2Ar_{\rm{e}}^2}}{{{A^2} - {B^2}}}; $
$ E = \frac{{\left( {{A^2} + 2AB + {B^2}} \right)r_{\rm{w}}^2 - {C^2}r_{\rm{e}}^2}}{{{C^2}\left( {A - B} \right)}}; $
$ F = \frac{{\left( {{A^2} + 2AB + {B^2}} \right)r_{\rm{w}}^2 - {C^2}r_{\rm{e}}^2}}{{{C^2}\left( {A + B} \right)}}; $
$ \begin{array}{l} G = - \left( {r_{\rm{e}}^2\ln s - r_{\rm{w}}^2\frac{{{s^2}}}{2}} \right) + \\ \frac{\kappa }{{\kappa - 1}}\frac{1}{{2A}}\left[ \begin{array}{l} D\ln s + E\ln \left( {\frac{{A - B + Cs}}{{A - B + C}}} \right) + \\ F\ln \left( {\frac{{A + B - Cs}}{{A + B - C}}} \right) \end{array} \right]; \end{array} $

平均孔隙水压力满足如下数学表达式

$ \begin{array}{l} \pi \left( {r_{\rm{e}}^2 - r_{\rm{w}}^2} \right)\bar ul = \\ 2\pi \int_0^l {\int_{{r_{\rm{w}}}}^{{r_{\rm{s}}}} {r{u_{\rm{s}}}\left( {r,z} \right){\rm{d}}r{\rm{d}}z} } + 2\pi \int_0^l {\int_{{r_{\rm{s}}}}^{{r_{\rm{e}}}} {ru\left( {r,z} \right){\rm{d}}r{\rm{d}}z} } \end{array} $ (12)

归一化系数后的形式是

$ \bar u = \frac{2}{{\left( {{N^2} - 1} \right)l}}\left[ {\int_0^l {\int_1^s {y{u_{\rm{s}}}\left( y \right){\rm{d}}y{\rm{d}}z} } + \int_0^l {\int_s^N {yu\left( y \right){\rm{d}}r{\rm{d}}z} } } \right] $ (13)

将式(10) 和式(11) 代入,得

$ \bar u = - \frac{{\partial \bar u}}{{\partial t}}\frac{1}{{2{c_{\rm{h}}}}}\alpha - {p_0}\frac{{1 + {k_l}}}{2} $ (14)

常数α

$ \alpha = \frac{{2r_{\rm{w}}^2}}{{{r_{\rm{e}}} - r_{\rm{w}}^2}}\left[ {\left( {\frac{\kappa }{{\kappa - 1}}\frac{1}{{2A}}} \right)\left( {Da + Eb + Fc} \right) + d} \right] $ (15)

其中,

$ a = \frac{1}{2}\left[ {{s^2}\left( {\ln s - \frac{1}{2}} \right)} \right] + \frac{1}{4} $
$ \begin{array}{*{20}{c}} {b = \ln \left( {\frac{{A - B + Cs}}{{A - B + C}}} \right)\left( {\frac{{{s^2}}}{2} - \frac{{{{\left( {A - B} \right)}^2}}}{{2{C^2}}}} \right) - }\\ {\frac{{{s^2}}}{4} + \frac{{\left( {s - 1} \right)\left( {A - B} \right)}}{{2C}} + \frac{1}{4}} \end{array} $
$ \begin{array}{*{20}{c}} {c = \ln \left( {\frac{{A + B - {C_{\rm{s}}}}}{{A + B - C}}} \right)\left( {\frac{{{s^2}}}{2} - \frac{{{{\left( {A + B} \right)}^2}}}{{2{C^2}}}} \right) - }\\ {\frac{{{s^2}}}{4} - \frac{{\left( {s - 1} \right)\left( {A + B} \right)}}{{2C}} + \frac{1}{4}} \end{array} $
$ \begin{array}{l} d = \frac{1}{8}\left( {4{N^4}\ln N - 3{N^4} + {s^4} + 2{N^2}{s^2} - } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\left. {4{N^2}{s^2}\ln s} \right) + E\left( {\frac{{{N^2} - {s^2}}}{2}} \right) \end{array} $

CHU等[14]进行了两组现场试验,试验土样为两层,第一层土厚4~5 m,为软粘土,第二层土厚10~16 m,为海相粘土.试验时通过排水板施加真空预压,发现随着深度增加,真空负压有近似线性减小、孔压近似线性增加的规律.据此原理,INDRARATNA等[15]认为真空预压随深度的分布如图 3所示.可知土体在排水边界处的孔压为

图 3 模型分析中真空度的分布情况 Fig.3 Distribution of vacuum pressure in analytical model
$ {\left( {{u_{\rm{s}}}} \right)_{r = {r_{\rm{w}}}}} = - {p_0}\left[ {1 - \left( {1 - {k_1}} \right)\frac{z}{l}} \right] $ (16)

式中:p0为表面处的真空预压压力;kl为塑料排水板底部的真空预压力与顶部真空预压的比值.

2 土体的本构方程

前人在进行径向排水固求解时通常是采用线弹性的一维压缩关系,但试验研究表明,土体的孔隙比和有效应力、渗透系数有经验对数线性关系[16],如图 4所示.对于正常固结土,孔隙比和有效应力、渗透系数关系如下

图 4 有效应力、渗透系数与孔隙比的经验对数线性关系 Fig.4 Empirical linear relationship between effective stress, permeability coefficient and void ratio
$ \begin{array}{l} e = {e_0} - {C_{\rm{c}}}\log \left( {\frac{{\sigma '}}{{{{\sigma '}_0}}}} \right)\\ e = {e_0} + {C_{\rm{k}}}\log \left( {\frac{k}{{{k_0}}}} \right) \end{array} $ (17)

式中:Ck为渗透指数;k为当前的渗透系数;e为当前的孔隙比;Cc为压缩指数;σ′为当前的有效应力;k0e0σ0为初始渗透系数、孔隙比和有效应力.为便于分析,采用量纲为一的超孔压系数W,即

$ W = \frac{{\bar u}}{{\Delta \sigma}}\;\;\left( {0 \le W \le 1} \right) $ (18)

式中:u为平均超静孔压;Δσ为瞬时施加的堆载应力.有效应力可以表达为

$ \sigma ' = {{\sigma '}_0} + \Delta \sigma - W\Delta \sigma $ (19)

体积压缩系数为

$ {m_{\rm{v}}} = \frac{1}{{1 + {e_0}}}\frac{{\partial e}}{{\partial \sigma '}} $ (20)

将式(17) 的第1式微分,代入到式(20) 得

$ {m_{\rm{v}}} = \frac{{ - 0.434{C_{\rm{c}}}}}{{\sigma '\left( {1 + {e_0}} \right)}} $ (21)

体积压缩系数相对变化与有效应力相对变化关系可表达为

$ \frac{{{m_{v0}}}}{{{m_{\rm{v}}}}} = \frac{{\sigma '}}{{{{\sigma '}_0}}} $ (22)

把式(17) 的第2式代入式(17) 第1式得到渗透系数与有效应力的关系为

$ \frac{k}{{{k_0}}} = {\left( {\frac{{\sigma '}}{{{{\sigma '}_0}}}} \right)^{ - \frac{{{C_{\rm{c}}}}}{{{C_{\rm{k}}}}}}} $ (23)

水平固结系数为

$ {c_{\rm{h}}} = \frac{{{k_{\rm{h}}}}}{{{m_{\rm{v}}}{\gamma _{\rm{w}}}}} $ (24)

合并式(19)、式(22)、式(23) 和式(24),得到固结过程中的固结系数与初始固结系数比值的关系

$ \frac{{{c_{\rm{h}}}}}{{{c_{{\rm{h0}}}}}} = {\left( {1 + \frac{{\Delta \sigma }}{{{{\sigma '}_0}}} - \frac{{W\Delta \sigma }}{{{{\sigma '}_0}}}} \right)^{1 - \frac{{{C_{\rm{c}}}}}{{{C_{\rm{k}}}}}}} $ (25)

式(25) 表示归一化的固结系数,其中,Ch0为初始水平固结系数;Ch为随固结过程变化的水平固结系数.求解控制方程会用到上述关系.

3 方程的求解

方程(15) 可以写为

$ \partial T = - \frac{{\partial W}}{{W + P}}\frac{{{c_{{\rm{h0}}}}}}{{{c_{\rm{h}}}}} $ (26)

其中,$P = {p_0}\frac{{1 + {k_t}}}{{2\Delta \sigma }}$$T = t\frac{{2{c_{{\text{h}}0}}}}{{r_{\text{W}}^2\alpha }} = {T_{\rm {h}0}}\frac{{8{N^2}}}{\alpha }$${T_{{\text{h}}0}} = \frac{{{c_{{\text{h}}0}}t}}{{4r_{\text{e}}^2}}$P是量纲为一的真空预压表达式.

Y=W+P,得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{W + P}}{{\left( {1 + \frac{{\Delta \sigma }}{{{{\sigma '}_0}}} - W\frac{{\Delta \sigma }}{{{{\sigma '}_0}}}} \right)}^{ - \left( {1 - \frac{{{C_{\rm{r}}}}}{{{C_{\rm{k}}}}}} \right)}} = }\\ {\frac{1}{Y}\left( {1 + \frac{{\Delta \sigma }}{{{{\sigma '}_0}}} + P\frac{{\Delta \sigma }}{{{{\sigma '}_0}}} - Y\frac{{\Delta \sigma }}{{{{\sigma '}_0}}}} \right)} \end{array} $ (27)

将方程在Y=0处用泰勒级数展开,得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{c_{\rm{h}}}}}{{Y{c_{{\rm{h0}}}}}} = {{\left( {1 + \frac{{\Delta \sigma }}{{{{\sigma '}_0}}} + P\frac{{\Delta \sigma }}{{{{\sigma '}_0}}}} \right)}^{ - \left( {1 - \frac{{{C_{\rm{c}}}}}{{{C_{\rm{k}}}}}} \right)}} \cdot }\\ {\sum\limits_{j = 0}^\infty {\frac{{{{\left\{ {1 - \frac{{{C_{\rm{c}}}}}{{{C_{\rm{k}}}}}} \right\}}_j}}}{{j!}}{{\left( {1 + P + \frac{{{{\sigma '}_0}}}{{\Delta \sigma }}} \right)}^{ - j}}} {{\left( Y \right)}^{j - 1}}} \end{array} $ (28)
$ \begin{array}{*{20}{c}} {T\left( Y \right) = - {{\left( {1 + \frac{{\Delta \sigma }}{{{{\sigma '}_0}}} + P\frac{{\Delta \sigma }}{{{{\sigma '}_0}}}} \right)}^{ - \left( {1 - \frac{{{C_{\rm{c}}}}}{{{C_{\rm{k}}}}}} \right)}} \cdot }\\ {\left[ \begin{array}{l} \ln \left( {\frac{Y}{{1 + P}}} \right) + \left( {1 - \frac{{{C_{\rm{c}}}}}{{{C_{\rm{k}}}}}} \right){\left( {1 + \frac{{{{\sigma '}_0}}}{{\Delta \sigma }} + P} \right)^{ - 1}} \cdot \\ \left( {Y - \left( {1 + P} \right)} \right) + \sum\limits_{j = 2}^\infty {\frac{{{{\left\{ {1 - \frac{{{C_{\rm{r}}}}}{{{C_{\rm{k}}}}}} \right\}}_j}}}{{j!\left( {j - n + 1} \right)}} \cdot } \\ {\left( {1 + \frac{{{{\sigma '}_0}}}{{\Delta \sigma }}} \right)^{ - j}}\left( {{Y^j} - {{\left( {1 + P} \right)}^j}} \right) \end{array} \right]} \end{array} $ (29)

运用数值积分方法,并且根据初始条件,t=0时,施加瞬时堆载应力,孔隙水压力没有消散,所以W=1,Y=1+Pt为无穷大时,已经完全施加真空预压,所以W=-PY=0积分得到式(29).

式(29) 表示平均归一化孔压和时间的关系,通过该式可以分析出孔压随时间的变化规律.Y是介于0和1+P之间的间断值,把Y值代入式(29) 得到相对应的时间.与张海丘等[13]的解析解对比,因本文用Y代替了WY中包含了真空预压项P,所以本解析解考虑了真空预压的影响,适用于塑料排水板与真空预压相结合的径向固结计算.

需要注意的是,真空预压固结度的计算有所不同,本文采用的真空固结度的计算公式为[10]

$ U = \frac{{1 - W}}{{1 - {W_\infty }}} \times 100 $ (30)

式中:W为时间t趋于无穷大时土层的量纲为一的超孔压系数.

4 退化验证

为了验证该解析解的正确性,文中分别与INDRARATNA解[10]、WALKER解[12, 17]进行对比验证.在与INDRARATANT解[10]进行退化验证时,仅考虑真空预压的影响,不考虑孔隙比与有效应力和渗透系数的非线性关系,其他参数与INDRARATNA解[10]相同.与此同时,不考虑涂抹区的影响,若本文解直接取s=1,会造成收敛困难,所以取s=1.001.N为影响半径re与排水半径rw的比值,取为9;p0与Δσ取为50 kPa,kl分别取为0和0.75.纵坐标为归一化的平均超孔隙水压力,其中u0为初始平均超孔隙水压力,即上部瞬时堆载产生的孔隙水压力,u是随时间变化的孔压.因为抽真空之后,超额孔隙水压力是负值,所以在图中出现负值.退化结果如图 5所示,与INDARATANT解[10]吻合很好.

图 5 Nkl不同取值下与INDRARATNA(2005) 解析解退化验证 Fig.5 Degradation analysis of the obtained solutions with different values of N and kl

由于WALKER解[12]能考虑涂抹区水平渗透系数的抛物线分布和土体的线性关系,因此,在进行退化验证时,也仅考虑这两项因素.所以,取Ck=Cc,不考虑孔隙比与有效应力和渗透系数的非线性关系.取p0=0,不考虑真空预压的影响,结果如图 6所示.其中,N分别取为9和19,s取为2和4,k取为2和4.文中将解析解退化到不考虑真空预压和渗透系数非线性变化的情况,与WALKER解[12]退化到不考虑非达西渗透定律的条件下对比验证,由图可知,本文退化解析解与WALKER解[12]较为吻合,证明本文解析解的正确性,也说明本文的解析解是WALKER解[12]的拓展.

图 6 Nks不同取值下与WALKER(2006) 解析解退化验证 Fig.6 Degradation analysis of the obtained solutions under different values of N, k and s

WALKER解[17]可考虑孔隙比与有效应力和渗透系数的非线性关系,但无法体现WALKER解[12]中涂抹区渗透系数抛物线分布特性,本文对此不足进行改进.与WALKER解[17]对比验时,退化涂抹区渗透系数抛物线分布影响这一特性,仅考虑Ck/Cc的影响.对比结果如图 7所示.为了能够证明本文解的广泛适用性,分别取N为9和19,Ck/Cc分别取为1.55与2.93.退化涂抹区渗透系数后的结果与Walker解[17]结果吻合性非常好,说明本文解析解具有可以考虑孔隙比与有效应力和渗透系数的非线性关系对固结的影响这一优点.

图 7 NCk/Cc不同取值下与Walker(2012) 解析解退化验证 Fig.7 Degradation analysis of the obtained solutions with different values of N and Ck/Cc
5 试验验证

推导了塑料排水板与真空预相结合的非线性径向解析解,本节对解析解和试验结果进行对比验证,试验条件和本文解析条件相同.解析解的参数及其取值如表 1.参数κ(kh/k0)是根据文献[12, 18]建议的水平渗透系数平均值,通过将κ(kh/k0)设为未知数,对涂抹区半径水平渗透系抛物线方程,即式(1),积分求得.其他试验参数都是通过室内试验获得.因篇幅限制原因,参数具体含义见文献[10].

下载CSV 表 1 分析中用到的参数 Tab.1 Parameters used in analysis

此处,采用位移固结度的概念进行对比验证,即

$ {U_{{\rm{hs}}}} = \frac{\rho }{{{\rho _\infty }}} $ (31)

式中:Uhs为位移固结度;ρ为当前沉降量;ρ为最终沉降量.若求出量纲为一的超空隙水压力W,沉降结果就可以按照式(32) 计算,即

$ \rho = \frac{{H{C_{\rm{c}}}}}{{1 + {e_0}}}\log \left[ {1 + \frac{{\Delta \sigma \left( {1 - W} \right)}}{{{{\sigma '}_0}}}} \right] $ (32)

式中:H为土层高度.

基于沉降的固结度计算公式为

$ {U_{{\rm{hs}}}} = \frac{{\log \left[ {1 + \frac{{\Delta \sigma }}{{{{\sigma '}_0}\left( {1 - W} \right)}}} \right]}}{{\log \left[ {1 + \left( {\frac{{\Delta \sigma }}{{{{\sigma '}_0}}}} \right)} \right]}} $ (33)

图 8是文献[15]试验固结和本文解析固结随时间变化对比图,本文的解析分析结果和试验测试结果的固结曲线高度吻合,说明本文推导的解析方法正确,可以用来计算和预测塑料排水板与真空预压相结合的软土地基加固.

图 8 试验固结与解析解固结随时间变化图 Fig.8 Consolidation rate comparison of test and analytical solution
6 模型的应用与参数分析

前人对参数Ns对固结速率的影响进行了诸多分析,所以本文不再对这两个参数对固结速率的影响详细分析,分别取N=9,s=5.重点关注参数Ck/Ccκ对正常固结土的固结速率影响.其中参数κ分别取2、4、6、8和10,Ck/Cc分别取1.55和3.1,由图 9中10种情况对比可知,在κ相同的情况下Ck/Cc值越大,固结需要时间越短,因此,Ck/Cc增大促使固结速率加快.

图 9 kCc/Ck不同取值对固结速率的影响 Fig.9 Variation of consolidation rate with different k and Cc/Ck values

图 9中分析参数κ对固结的影响时,非扰动区土体的渗透系数不发生变化,仅涂抹区渗透系数发生变化,参数κ在2~10之间变化,如图 9所示κ值增大,固结所需时间加长.这表明,如果施工对涂抹区造成扰动越大,使κ增大,增加固结所需时间.因此在分析采用塑料排水板固结的工程时需要考虑施工扰动对固结的影响.

7 结论

塑料排水板与真空预压相结合的软土地基加固方法广泛使用,本文以此为工程背景,推导了塑料排水板与真空预压结合的径向固结解析解,在此解析解中考虑了渗透系数变化和真空预压的影响,并对影响固结速率的部分因素进行了分析,主要有如下结论:

(1) 本文推导的解析解能够综合考虑真空预压、涂抹区水平渗透系数的抛物线分布、孔隙比与水平渗透系数和有效应力的非线性关系对固结的影响.

(2) 通过退化,本文的解析解分别与INDRARATNA解、WALKER解进行了对比验证,证明了该解析解的正确性.

(3) 本文解析解与试验结果对比非常吻合,证明了该解析解的正确性与实用性,可用于塑料排水板与真空预压相结合的软土地基加固计算和预测.

(4) Ck/Cc值越大,固结需要时间越短,因此,Ck/Cc增大有促使固结加快的作用.若施工对涂抹区造成扰动,κ增大,增加固结所需时间,对工程不利.

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