路面行驶质量指数(road quality index，RQI)综合反映了路面表面特性、车辆悬挂系统的振动特性以及人对振动的反应，常用于表征路面为出行者提供的行驶舒适性.作为影响出行者路径选择行为的重要因素，RQI不同所带来的行驶舒适性的差异应当在出行成本中得以体现.目前国内外的已有研究均未给出RQI与出行成本的明确关系，对RQI对出行者选择行为的影响也少有考虑.已有研究^[1-5]更多地集中在路面表面特性对车辆运营费用和安全的影响，少有考虑对出行时间费用的影响^[5].路面平整度作为路面表面特性的重要表征，是影响路面行驶质量的主要因素^[6-7]，它的评价指标主要可以分为两类^[8]，一类是直接统计指标，以功率谱密度(power spectral density，PSD)为主要指标; 另外一类是间接指标，如国际平整度指数(international roughness index，IRI)、舒适度指数(ride number，RN)、断面指数(profile index，PI)、半车平整度指数(half-car roughness index，HRI)等.在路面平整度众多评价指标中，国际平整度指数IRI运用范围最为广泛^[9].已有研究给出了用于评价RQI在不同速度下的IRI分级临界值^[10]，建立了IRI与行驶速度的关系^[11]，这为以IRI建立RQI与行驶速度的关系提供了良好的基础，而速度又可以较为容易地转化为出行时间费用，进而在出行成本中予以考虑.本文即采用这一思路，首先在已有研究基础上，以高速公路为研究对象，仿真计算50条典型道路在不同行驶速度下的IRI值；而后，以IRI为中间指标，进一步给出每条道路不同行驶车速下的RQI值；最后，通过计算任意两条道路同一速度(80 km·h^-1)下的RQI差值与同一RQI水平下的速度差值，尝试建立RQI与当量出行时间费用的关系.研究将为在出行选择行为研究中纳入RQI的影响提供参考，也将为进一步在道路养护维修效益评估中更为全面地考虑RQI对出行者收益的影响提供指导.

1 不同行驶速度下的IRI值计算 1.1 计算模型的选定

IRI是由世界银行赞助的通过国际道路平整度实验(IRRE)建立的道路评价指标，被世界各国广泛使用.

国际平整度指数的定义式为

$ {\rm{IRI}} = \frac{1}{L}\int_0^L {\left| {{Z_{\rm{s}}} - {Z_{\rm{u}}}} \right|{\rm{d}}x} $

(1)

式中：Z_s为车身的绝对位移；Z_u为轮胎的绝对位移；L为行驶的距离；

由式(1) 可知，IRI就是计算一定行驶距离内的悬挂系统的累计位移.假定行驶速度恒定为v，行驶时间为t, 则dx=vdt, L=vt.对式(1) 进行变换得

$ {\rm{IRI}} = \frac{1}{{vt}}\int_0^t {\left| {{Z_{\rm{s}}} - {Z_{\rm{u}}}} \right|v{\rm{d}}t} $

(2)

式(2) 与式(1) 等价，式(2) 含义是，在行驶速度为v时，一定运行时间t内的悬挂系统累计位移.对于Z_s和Z_u，采用由世界银行所建立的两自由度四分之一车模型动力方程^[12]计算如下：

$ {m_{\rm{s}}}{{\ddot Z}_{\rm{s}}} + {C_{\rm{s}}}\left( {{{\dot Z}_{\rm{s}}} - {{\dot Z}_{\rm{u}}}} \right) + {K_{\rm{s}}}\left( {{Z_{\rm{s}}} - {Z_{\rm{u}}}} \right) = 0 $

(3)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{m_{\rm{u}}}{{\ddot Z}_{\rm{u}}} + {C_{\rm{s}}}\left( {{{\dot Z}_{\rm{u}}} - {{\dot Z}_{\rm{s}}}} \right) + }\\ {{K_{\rm{s}}}\left( {{Z_{\rm{u}}} - {Z_{\rm{s}}}} \right) + {K_{\rm{t}}}\left( {{Z_{\rm{u}}} - Y} \right) = 0} \end{array} $

(4)

式(3)、(4) 中：m_s为簧上质量，即车身质量；m_u为簧下质量，即轮胎质量；K_s为车身悬架刚度；K_t为轮胎刚度；C_s为悬架阻尼；Y为路面的断面高程, 是路面不平整度的函数.

将式(3) 和式(4) 两式同时除以m_s，得

$ {{\ddot Z}_{\rm{s}}} + C\left( {{{\dot Z}_{\rm{s}}} - {{\dot Z}_{\rm{u}}}} \right) + {K_2}\left( {{Z_{\rm{s}}} - {Z_{\rm{u}}}} \right) = 0 $

(5)

$ u{{\ddot Z}_{\rm{u}}} + C\left( {{{\dot Z}_{\rm{u}}} - {{\dot Z}_{\rm{s}}}} \right) + {K_2}\left( {{Z_{\rm{u}}} - {Z_{\rm{s}}}} \right) + {K_1}{Z_{\rm{u}}} = {K_1}Y $

(6)

式(5) 和式(6) 中采用四分之一车模型标准车的各种车辆参数^[13]，为

$ \begin{array}{l} C = \frac{{{C_{\rm{s}}}}}{{{m_{\rm{s}}}}} = 6.0{{\rm{s}}^{ - 1}};{K_1} = \frac{{{K_{\rm{t}}}}}{{{m_{\rm{s}}}}} = 653{{\rm{s}}^{ - 2}};\\ {K_2} = \frac{{{K_{\rm{s}}}}}{{{m_{\rm{s}}}}} = 63.3{{\rm{s}}^{ - 2}};u = \frac{{{m_{\rm{u}}}}}{{{m_{\rm{s}}}}} = 0.15. \end{array} $

只要给定路面断面高程函数Y，就可以采用数值方法或解析方法对微分方程组式(5) 和式(6) 进行求解.由于道路断面高程函数是离散的，世界银行采用数值方法中的传递矩阵法进行计算；但为了简化理论计算，采用解析方法对微分方程组进行求解.假定道路断面高程函数Y为连续函数，确定Y的形式对IRI的解析计算是十分必要的.

1.2 路面纵断面断面形状假定

任何函数一般都可以分解成单个谐振之和的形式，则路面断面高程函数Y也可用多个波长、振幅和频率不同的简谐函数叠加表达.为了计算简单起见，可以采用较为简单的路面激励函数Y=ae^iωt，a为路面振幅，ω为系统固有圆频率，波长为$\lambda = \frac{{2\pi v}}{\omega }$.

国际平整度与速度之间推导^[11]如下：

$ {Z_{\rm{s}}} = AY = Aa{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\omega t}},{Z_{\rm{u}}} = BY = Ba{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\omega t}} $

(7)

将式(7) 代入式(5) 和式(6)，反解出A、B并将A、B代入式(7)，得到Z_u、Z_s的具体表达式.由于Z_u、Z_s均为实数，所以取其实部，即

$ {Z_{\rm{u}}} = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{Z_{\rm{u}}}} \right),{Z_{\rm{s}}} = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{Z_{\rm{s}}}} \right) $

(8)

将式(8) 代入式(2) 就可以得出IRI-v的关系式.

$ {\rm{IRI}} = f\left( {\lambda ,a,v} \right) $

(9)

由式(9) 可知，IRI-v的关系表达式中，共有3个自变量，它们是λ、a和v，只要确定这3个自变量的取值就可以计算相应的IRI.

1.3 IRI-v的关系式中参数的确定 1.3.1 路面纵断面断面形状参数的确定

(1) 路面波长λ的确定

国际道路协会常设委员会(PIARC)将引起路面不平整度的路面波长范围划分为3类：短波0.5~5.0 m，中波5.0~15.0 m，长波15.0~50.0 m^[14].为了全面覆盖引起路面不平整度的路面波长范围，路面波长λ取1.0~50.0 m，间隔为1.0 m，共计50个波长.

(2) 路面振幅a的确定

为选取合适的路面振幅a，计算了a=0.001~0.050 m，间隔为0.001 m，共50(波长)×50(振幅)=2 500个路面组合状况.选定80 km·h^-1下的RQI分级标准，统计每个振幅a下，不同级别RQI下的道路数，结果如表 1所示.考虑典型道路组合宜覆盖所有路面行驶质量等级，故选择a=0.005 m作为本文典型道路的路面振幅.

综上(1) 和(2) 可得，将50个路面波长和1个路面振幅进行组合，在固定速度80 km·h^-1下，将每种组合分别代入Y=ae^iωt得一条道路典型断面，共计50条，结果如图 1所示.

1.3.2 行驶速度的确定

选取我国高速公路的设计车速取值范围[60,120]km·h^-1[15]作为本文行驶速度v的取值区间，间隔为5 km·h^-1，共取13个速度水平.

1.4 IRI仿真计算

如前所述，对于选定的50条典型道路(50个路面波长，1个路面振幅)，分别计算每条道路在13个行驶速度下的IRI值，部分计算结果如图 2和表 2所示.

2 不同行驶速度下RQI的计算

在测定速度80 km·h^-1下，IRI的分级临界值具有局限性，为扩大IRI分级临界值的适用范围，已有研究根据车辆振动效果相同，建立了不同速度下的IRI分级临界值^[10]，如表 3所示.

2.1 不同速度下RQI与IRI分级临界值的扩充

虽然表 3已经列出不同速度下的IRI分级临界值，但是由于其速度间隔较大，且IRI分级临界值自身为区间形式，难以建立RQI与IRI之间的定量关系.鉴于此，对表 3的速度值进行扩充，并将IRI值按速度间隔5 km·h^-1线性内插.此外，RQI选用5分制，1~5依次代表差、较差、一般、好和非常好5个等级.扩充后的IRI分级临界值如表 4所示.

2.2 不同速度下RQI-IRI关系的提取

对表 4按不同速度，分别进行RQI和IRI的线性回归，RQI=c×IRI+d回归结果如表 5所示.

2.3 不同行驶速度下RQI计算结果

将IRI计算结果分别代入对应速度下RQI-IRI的回归方程，计算得到RQI值.RQI计算结果中，对于RQI < 0的值，可以理解为在此速度和该种路面组合状态下，毫无行车舒适性可言；对于RQI > 5的值，可以理解为在此速度和该种路面组合状态下，行驶舒适性已达到最大值.由于RQI的取值范围为[0,5], 所以将表中RQI < 0的值均取为0；RQI > 5的值取为5.部分计算结果如表 6所示.

3 RQI差异的当量出行时间费用计算 3.1 计算方法

本文假定两条道路在RQI值相等时就可以视为两者的行车舒适性相同.现从前述50条典型道路中任选2条道路i、j, 设在同一检测车速v₀(本文v₀取IRI的标准测定速度80 km·h^-1)下，其对应RQI值分别为RQI_v0i和RQI_v0j.RQI的差异说明两条道路在行驶速度均为v₀时具有不同的行驶舒适性.要达到相同的行驶舒适性，车辆在其中一条道路上必须选择不同的行驶速度.设车辆在道路j上必须选择速度v_1j才能达到与RQI_v0i相同的RQI值，这意味着出行时间费用的改变.本文以相同行驶舒适性(相同RQI值)条件下两条道路速度差异所带来的出行时间差异作为两条道路RQI差异(同一检测速度下)的当量时间费用. i、j道路的速度差异以v_Rij=(v_1j-v₀)/v₀表示，RQI差异以RQI_Rij=(RQI_v0j－RQI_v0i)/max(RQI_v0i, RQI_v0j)表示，取v₀=80 km·h^-1，采用以下步骤建立两者的关系：

步骤1   将50条道路按照波长λ依次排序编号，i、j为道路编号，i, j∈{1, 2, …, 49, 50}，i≠j.

步骤2   从50条道路中任选两条道路i、j，基于2.3节计算结果，给出两条道路在检测速度v₀下的RQI值，分别记为RQI_v0i和RQI_v0j.

步骤3   计算${\rm{RQ}}{{\rm{I}}_{{\rm{R}}\mathit{ij}}} = \frac{{({\rm{RQ}}{{\rm{I}}_{{v_0}j}} - {\rm{RQ}}{{\rm{I}}_{{v_0}i}})}}{{{\rm{max}}({\rm{RQ}}{{\rm{I}}_{{v_0}i}},{\rm{RQ}}{{\rm{I}}_{{v_0}j}})}}$.

步骤4   计算道路j达到RQI_v0i时的速度v_1j，v_1j的计算可以基于2.3的计算结果，采用线性内差法获得.

步骤5   计算 ${v_{{\rm{R}}\mathit{ij}}} = \frac{{\left( {{v_{1j}} - {v_0}} \right)}}{{{v_0}}}$.

步骤6   检查是否50条道路中任意两条道路均完成了上述计算，如未完成，则回到步骤2；如已完成，则执行步骤7.

步骤7   回归建立RQI_Rij与v_Rij的关系.

3.2 RQI差异与当量行驶速度差异的关系

研究采用3.1节中给出的计算方法，以高速公路为研究对象，以[60,120]km·h^-1为车速取值范围，建立了RQI差异与当量行驶速度差异的关系.结果发现，与至少一条道路RQI大于等于3时相比，当两条道路的RQI值均小于3(即行驶质量均处于较差或差)时，RQI差异与当量行驶速度差异的关系呈现出明显不同的特征.将数据分为max(RQI_v0i, RQI_v0j)≥3和max(RQI_v0i, RQI_v0j) < 3两部分分别进行分析.

当max(RQI_v0i, RQI_v0j)≥3时，建立RQI_Rij与v_Rij的关系如图 3a所示.

对于RQI_Rij和v_Rij的关系，由图 3a可知，数据点近似分布在直线附近，对它们进行线性回归拟合，结果如下：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{RQ}}{{\rm{I}}_{{\rm{R}}ij}} = 2.786{v_{{\rm{R}}ij}} - 0.006027}\\ {{R^2} = 0.917} \end{array} $

(10)

由公式(10) 相关系数R²为0.917可知，RQI_Rij和v_Rij之间有良好的线性关系.

当max(RQI_v0i, RQI_v0j) < 3时，建立RQI_Rij与v_Rij的关系如图 3b所示.

对于RQI_Rij和v_Rij的关系，由图 3b可知，数据点近似分布在S型曲线附近，对它们进行回归拟合，结果如下：

$ \begin{array}{l} {\rm{RQ}}{{\rm{I}}_{{\rm{R}}ij}} = \frac{1}{{\left( {0.6487 + 0.8612{{\rm{e}}^{ - 22.99{v_{{\rm{R}}ij}}}}} \right)}} - 0.7333\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{R^2} = 0.873 \end{array} $

(11)

由公式(11) 相关系数数R²为0.873可知，RQI_Rij和v_Rij之间有良好的相关性.

3.3 RQI差异对当量出行时间费用的影响

采用RQI差异对应的行驶时间差作为RQI差异的当量出行时间费用，以T表示，计算公式如下：

$ T = \left( {\frac{1}{{{v_0}}} - \frac{1}{{{v_{1j}}}}} \right)L \times 3600 $

(12)

将3.1中v_Rij的定义代入公式(12) 得

$ T = \frac{{{v_{{\rm{R}}ij}}}}{{{v_0}\left( {1 + {v_{{\rm{R}}ij}}} \right)}}L \times 3600 $

(13)

将L=1 km按公式(13) 计算的当量出行时间费用T与以v₀行驶1 km的时间的比值，定义为当量时间费用比T_R.

$ {T_{\rm{R}}} = \frac{{{v_{{\rm{R}}ij}}}}{{\left( {1 + {v_{{\rm{R}}ij}}} \right)}} \times 100 $

(14)

T_R反映了RQI_Rij对当量出行时间费用的影响的程度.T_R越大，影响程度越大；反之越小.

通过公式(10)、(11)、(13) 及(14) 完成相应计算，结果如表 7所示.

由表 7可知：首先，随出行距离L的增加，出行时间费用T也相应成正比例增长，可见L对T有重要影响.其次，随着RQI_Rij绝对值的增大，T_R的绝对值也逐渐增大，说明在本文计算的速度范围内，RQI差异越大，由其差异引起的当量出行时间费用占总出行时间费用的比例越高，影响越大.以RQI_Rij= 0.8为例，T约占总出行时间费用的比例(即T_R)高达22.44%或9.44%，可见RQI差异对出行时间费用影响较大.在max(RQI_v0i, RQI_v0j)≥3和max(RQI_v0i, RQI_v0j) < 3这两种不同状态下，同一RQI_Rij水平下，对应的T和T_R值不一致，且前者比后者大.上述计算分析的当量出行时间费用，针对的研究对象是自由流状态下的单辆车，随着道路上交通流量的增大，车辆将逐渐开始受到其他车辆行驶的影响.当车辆无法自主选择车速时，车速的降低会使RQI差异减小，进而带来单车当量出行时间费用的减小.但随着流量的增大，所有车辆的当量出行时间费用的总和却未必减小.

4 结论

本文给出了RQI差异的当量时间费用的概念：将两条道路在同一检测速度下的RQI差异的当量时间费用定义为达到相同行驶舒适性(即相同RQI值)时两条道路由于车速速度差异所带来的出行时间差异.在这一概念下，以高速公路为研究对象，研究给出了RQI差异的当量时间费用的计算方法.首先，将已知路面激励函数下IRI-v的关系式进行量化，依据量化后IRI-v的关系式，选择典型道路，计算不同速度下的IRI值；其次，对已有不同速度和RQI下的IRI分级临界值关系进行提取，计算典型道路在不同速度下的RQI值；然后，计算任意两条典型道路同一速度下的RQI差值与同一RQI水平下的速度差值，通过回归分析量化两者之间的关系；最后，将计算的速度差异转化为时间差异，给出RQI差异的当量时间费用.本文采用这一方法，对所选取的50条典型道路RQI差异的当量时间费用进行了分析，结果表明：同一速度(80 km·h^-1)水平下的RQI差异与同一RQI水平下的速度差异之间存在良好的相关性；在自由流状态下，RQI差异的当量出行时间费用与实际出行时间费用的比值高达10%，在实际应用中不可忽略.非自由流状态下，需要综合考虑RQI与流量对速度的共同作用.