地铁车辆电机悬挂系统的基本功能是：支承、限位及隔振.目前，对于铁路机车电机悬挂系统的研究尚少.文献[1]通过分析电机的横向悬挂刚度和阻尼对转向架动力学性能的影响，提出了一种可实现电机与构架的横向低刚度解耦方案，该方案可提高转向架的蛇行临界速度.文献[2]通过结合“先锋号”列车的室内试验和秦沈客运专线正线试验, 找出电机故障的原因，并且提出解决的方法, 为铁道车辆电机的修改设计提供依据.解耦度是衡量悬挂系统优劣的主要指标之一，电机各向解耦度越高，各向振动的独立性越好，以便设计电机各向振动频率，使之有效避开电机所受到的各向激振力频率和转向架固有频率，从而提高电机悬挂系统的隔振效果^[3-4].基于此，本文以某型地铁车辆为研究对象，首先，建立电机的自由振动方程，并且基于解耦度优化方法设计出电机悬挂系统各吊挂元件的三向刚度参数，随后，利用解耦优化的电机悬挂系统参数，评价其隔振性能，最后，通过现场试验，从转向架的振动和受力情况验证了设计结果的合理性.

1 电机自由振动方程与解耦优化方案 1.1 电机自由振动方程

以电机的重心位置为坐标原点，建立如图 1所示坐标系.由于悬挂系统的吊挂元件刚度远小于电机与构架刚度，因此将电机视为空间刚体，其6个自由度的刚体位移为T=[x, y, z, r_x, r_y, r_z]，橡胶元件简化为带三向刚度的弹簧.第i个(i=1, 2, 3, 4)橡胶元件的位置坐标为(a_i, b_i, c_i)，其三向刚度为(k_xi, k_yi, k_zi).当电机振动时，第i个橡胶元件产生的弹性力与弹性力矩分别为

$ \left\{ \begin{gathered} {F_{xi}} = {k_{xi}}\left( {x + {c_i}{r_y}-{b_i}{r_z}} \right) \hfill \\ {F_{yi}} = {k_{yi}}\left( {y + {a_i}{r_z}-{c_i}{r_x}} \right) \hfill \\ {F_{zi}} = {k_{zi}}\left( {z + {b_i}{r_x}-{a_i}{r_y}} \right) \hfill \\ {M_{xi}} = {F_{zi}}{b_i} - {F_{yi}}{c_i} \hfill \\ {M_{yi}} = {F_{xi}}{c_i} - {F_{zi}}{a_i} \hfill \\ {M_{zi}} - {F_{yi}}{a_i} - {F_{xi}}{b_i} \hfill \\ \end{gathered} \right. $

(1)

当不考虑外界激励时，分别建立电机关于x、y、z、r_x、r_y、r_z向的自由振动方程，如式(2):

$ \mathit{\boldsymbol{K}}{\mathit{\boldsymbol{T}}_j} = {\lambda _j}\mathit{\boldsymbol{M}}{\mathit{\boldsymbol{T}}_j}, \;j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 $

(2)

式中:K与M分别为电机的刚度矩阵与惯量矩阵；λ_j为各阶模态特征值，λ_j=(2πf_j)²，f_j为模态频率，j为模态阶数；T_j为各阶模态振型向量.

$ \mathit{\boldsymbol{M}} = \left( \begin{gathered} m \hfill \\ \;\;\;\;\;\;m \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;m \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{I_x} \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{I_y} \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{I_z} \hfill \\ \end{gathered} \right) $

(3)

式中:m为电机质量；I_x、I_y、I_z为电机的三向转动惯量.由于电机的非对角线惯性积参数相比主对角线参数的数值非常小，因此未考虑M矩阵的非对角线惯性积参数^[5].

$ \mathit{\boldsymbol{K}} = \left[\begin{gathered} {K_{11}}\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;{K_{15}}\;\;\;\;{K_{16}}\; \hfill \\ \;0\;\;\;\;\;\;\;\;{K_{12}}\;\;\;0\;\;\;\;\;\;{K_{24}}\;\;\;0\;\;\;\;\;{K_{26}}\; \hfill \\ \;0\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;{K_{33}}\;\;\;\;{K_{34}}\;\;{K_{35}}\;\;\;0\; \hfill \\ \;0\;\;\;\;\;\;\;{K_{42}}\;\;{K_{43}}\;\;\;\;{K_{44}}\;\;{K_{45}}\;\;\;{K_{46}}\; \hfill \\ {K_{51}}\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;{K_{53}}\;\;\;{K_{54}}\;\;\;{K_{55}}\;\;\;{K_{56}}\; \hfill \\ {K_{61}}\;\;\;\;{K_{62}}\;\;\;0\;\;\;\;\;{K_{64}}\;\;\;{K_{65}}\;\;\;{K_{66}}\;\; \hfill \\ \end{gathered} \right] $

(4)

式中：矩阵的对角线元素K₁₁、K₂₂、K₃₃、K₄₄、K₅₅、K₆₆是电机的线位移和角位移刚度影响系数，为

$ \left\{ \begin{gathered} {K_{11}} = \sum {{k_{xi}}} \hfill \\ {K_{12}} = \sum {{k_{yi}}} \hfill \\ {K_{33}} = \sum {{k_{zi}}} \hfill \\ {K_{44}} = \sum {\left( {{k_{zi}}b_i^2 + {k_{yi}}c_i^2} \right)} \hfill \\ {K_{55}} = \sum {\left( {{k_{xi}}c_i^2 + {k_{zi}}a_i^2} \right)} \hfill \\ {K_{66}} = \sum {\left( {{k_{yi}}a_i^2 + {k_{xi}}b_i^2} \right)} \hfill \\ \end{gathered} \right. $

(5)

K₁₅、K₁₆、K₂₄、K₂₆、K₃₄、K₃₅是电机的线位移与角位移的耦合刚度影响系数，其表达式为

$ \left\{ \begin{gathered} {K_{15}} = {K_{51}} = \sum {{k_{xi}}{c_i}} \hfill \\ {K_{16}} = {K_{61}} = \sum {{k_{xi}}{b_i}} \hfill \\ {K_{24}} = {K_{42}} =-\sum {{k_{yi}}{c_i}} \hfill \\ {K_{26}} = {K_{62}} = \sum {{k_{yi}}{a_i}} \hfill \\ {K_{34}} = {K_{43}} = \sum {{k_{zi}}{b_i}} \hfill \\ {K_{35}} = {K_{53}} =-\sum {{k_{zi}}{a_i}} \hfill \\ \end{gathered} \right. $

(6)

K₄₅、K₄₆、K₅₆是角位移与角位移的耦合刚度影响系数，其表达式为

$ \left\{ \begin{gathered} {K_{45}} = {K_{54}} =-\sum {{k_{zi}}{a_i}{b_i}} \hfill \\ {K_{46}} = {K_{64}} =-\sum {{k_{yi}}{a_i}{c_i}} \hfill \\ {K_{56}} = {K_{65}} =-\sum {{k_{xi}}{b_i}{c_i}} \hfill \\ \end{gathered} \right. $

(7)

定义电机的第j阶振动能量分布矩阵为^[5]

$ {\mathit{\boldsymbol{E}}_\mathit{\boldsymbol{M}}}\left( {p, k} \right) = f_j^2\mathit{\boldsymbol{M}}\left( {p, k} \right){\mathit{\boldsymbol{T}}_{j, p}}{\mathit{\boldsymbol{T}}_{j, k}}/2 $

(8)

式中：M(p, k)为惯量矩阵的第p行、第k列元素；T_{j, p}与T_{j, k}分别为第j阶振型向量的第p个与第k个元素.

第j阶振型在第p个元素分配的能量占振型T_j总能量的分数为

$ {\mathit{\boldsymbol{E}}_{\rm{P}}}\left( {k, j} \right) = \frac{{\sum\limits_{p = 1}^6 {{\mathit{\boldsymbol{E}}_\mathit{\boldsymbol{M}}}\left( {p, k} \right)} }}{{\sum\limits_{k = 1}^6 {\sum\limits_{p = 1}^6 {{\mathit{\boldsymbol{E}}_\mathit{\boldsymbol{M}}}\left( {p, k} \right)} } }} $

(9)

若E_P(k, j)=100%，第j阶振型T_j的能量全部集中在第k个元素，即电机第j阶振型的振动完全解耦.

1.2 电机解耦优化研究

以电机系统解耦度最高为优化目标，以吊挂元件三向刚度为设计变量，并以电机各向模态频率作为约束条件，确定解耦度优化的目标函数及约束条件，如式(10)所示：

$ \begin{gathered} \min \;\;g\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right) = \left( {6-\sum\limits_{j = 1}^6 {{\mathit{\boldsymbol{E}}_{{{\rm{P}}_j}}}} } \right) \hfill \\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\;\;\;\left\{ \begin{gathered} {f_{{\rm{L}}j}} \leqslant {f_j}\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right) \leqslant {f_{{\rm{U}}j}} \hfill \\ {\mathit{\boldsymbol{X}}_{\rm{L}}} \leqslant \mathit{\boldsymbol{X}} \leqslant {\mathit{\boldsymbol{X}}_{\rm{U}}} \hfill \\ \end{gathered} \right., J = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \hfill \\ \end{gathered} $

(10)

式中：E_Pj为第j阶振型的主要振动方向的振动能量占振型能量的分数；X=[k_xi, k_yi, k_zi]为第i个吊挂元件的三向刚度，考虑到吊挂元件的工程应用性，保持其横向、垂向刚度一致.约束X_L≤X≤X_U为设计变量须落在生产安装允许范围内^[6]；f_j(X)为电机各向模态频率，f_Uj、f_Lj为其上下限.

在电机各向模态频率约束部分，主要对电机横移及浮沉振型频率进行设计.根据模态匹配理论^[7-9]，转向架横移、浮沉振型频率与电机横移、浮沉振型频率比值应大于$\sqrt 2 $，若由于其他原因该频率比值只能落在小于$\sqrt 2 $的区域，应使其低于0.4.考虑到电机对静挠度的要求，使该比值低于0.4.据此有

$ \frac{{{f_{{\rm{b}}y}}}}{{0.4}} < {f_y}, \;\;\frac{{{f_{{\rm{b}}z}}}}{{0.4}} < {f_z} $

(11)

式中：f_y、f_z分别为电机横移、浮沉振型频率；f_by、f_bz分别为转向架横移、浮沉振型频率.

表 1为所研究的电机吊挂车辆转向架振型频率及阻尼比.根据模态匹配理论选取电机横移、浮沉振型频率均为12Hz.由于遗传算法具有适用性好、全局寻优能力强的特点^[10-11]，本文采用遗传算法对各橡胶元件的三向刚度分别进行寻优计算.表 2为悬挂元件刚度计算结果，由此得到表 3电机模态频率和解耦度计算结果，从表 3可以看出，解耦度最低的达到了94.1%，最高的达到了100%，频率分布与期望结果基本一致.

2 解耦优化结果的隔振性能评价

为了验证电机解耦优化结果的隔振性能，将电机分别以刚性吊挂、弹性吊挂的形式安装于构架上：刚性吊挂直接将电机固接在构架上；弹性吊挂则采用橡胶隔振元件将电机悬挂于构架，其中，弹性吊挂采用表 2解耦优化参数.根据所研究的地铁车辆的动力学参数，建立车辆多体动力学仿真模型如图 2所示，模型包含1个刚性车体、2个转向架、4个轮对以及4个牵引电机(前、后转向架各2个).车体、转向架、轮对以及电机均考虑为刚性.模型中考虑了以下非线性因素：轮轨接触非线性几何特性、非线性蠕滑力和蠕滑力矩、二系横向止挡的递增刚度特性、液压减振器的非线性特性.

图 3、图 4为电机分别采用刚性吊挂与弹性吊挂方案，车辆运行速度为80、90、100、110、120 km·h^-1时二系空簧下方构架振动加速度RMS值(均方根值)计算结果对比.从图 3可以看出，与刚性吊挂相比，解耦优化的弹性吊挂方案在不同速度下，前、后构架的横向振动加速度RMS值均小于刚性吊挂，并且车辆运行速度越大，效果越明显.同样地，从图 4可以看出，采取解耦优化的弹性吊挂方案后，构架的垂向振动RMS值有所降低.

图 5、图 6为车辆运行速度为120 km·h^-1工况下，电机分别采用刚性吊挂与弹性吊挂时前、后构架横向和垂向振动加速度功率谱密度计算结果.从图 5可以看出，与刚性吊挂相比，电机采用解耦优化的弹性吊挂方案时，前、后构架的横向振动大大减小，在9~13 Hz频率范围内隔振效果明显.同样地，从图 6可以看出，电机采用解耦优化的弹性吊挂方案时，前、后构架的垂向振动小于刚性吊挂，在7~12 Hz频率范围内有隔振效果.

为研究电机吊挂方案对车体运行平稳性的影响，在转向架上方车体位置布置加速度传感器，得到不同速度下车体横向和垂向运行平稳性.从表 4可见，就车辆运行平稳性而言，电机采取解耦优化的弹性吊挂方案与刚性吊挂方案相比差别不大，这表明电机振动对车体振动影响不大.

3 电机解耦优化的应力和振动试验

对电机采用刚性吊挂、弹性吊挂方案时转向架构架应力和振动进行测试，其中，刚性吊挂直接将电机固接在构架上，电机弹性吊挂采用表 2解耦优化参数，图 7为依据表 2参数设计出来的弹性吊挂元件，图 7a为吊挂元件完整结构，每一个吊挂元件由2个橡胶圆环和1个钢芯组成，钢芯中部为吊挂电机的位置；图 7b为橡胶圆环，橡胶圆环的主要材料由钢和天然橡胶构成，钢结构形成包络，其内部填充天然橡胶.通过调整橡胶件的配方比，各吊挂元件的三向刚度基本可达到电机解耦优化设计的数值，经过校核，误差范围在8%以内.为保持试验工况的一致性，减小线路因素对试验结果的影响，选取一段可保证车辆持续稳定运行大于30s的直线线路采集数据，测试列车空载状态时车辆运行速度在80、100、120 km·h^-13个速度级下转向架构架应力和振动加速度.

依据电机与构架连接位置的受力特点，选取应力和振动测点位置如图 8所示, 其中1~4为应力测点，5~8为振动测点.将应变片和加速度传感器分别布置于电机及构架的相应位置，其现场布置形式如图 9所示.

地铁车辆在实际线路运行时产生的动载荷是引起转向架部件疲劳损坏的重要原因，因此对电机采取2种吊挂方案时电机吊座部位(测点1~4)的应力时域结果进行统计，图 10为电机吊座部位应力峰峰值统计结果，峰峰值为一个周期内最高信号与最低信号的差值，可反映测试部位所承受的最大拉、压应力变化情况^[12].从图 10可以看出，测点1~4处的应力峰峰值在电机采取刚性吊挂方案时明显较大，这表明刚性吊挂方案会增加电机吊座的疲劳损伤风险，而弹性吊挂方案可以有效降低电机吊座的疲劳损伤.

在3种运行速度(80、100、120 km·h^-1)的工况下，电机采取刚性吊挂及解耦优化的弹性吊挂方案时，测点6(电机)、测点7(电机吊座)的横向、垂向振动加速度RMS值见5、表 6.从表 5、表 6可以看出，电机采用解耦优化的弹性吊挂方案后，电机及转向架的横向、垂向振动加速度有效值均有效降低，这表明解耦优化后电机悬挂系统的参数配置是合理的.

4 结语

(1) 将电机考虑成具有6个自由度的空间刚体，建立悬挂系统的自由振动方程，采用解耦度指标得到电机各自由度振动的耦合程度.

(2) 以解耦度为优化目标，以电机横移及浮沉振型频率为约束条件，基于遗传算法对电机悬挂系统各橡胶元件的三向刚度进行优化设计.分析结果表明，电机各阶刚体振型可获得良好的解耦度，频率分布与期望值基本一致.

(3) 相对于刚性吊挂而言，当电机采取解耦优化的弹性吊挂方案后，可以有效降低转向架关键部位的振动以及动荷载，从而有效降低转向架的疲劳损伤，但对于车体运行平稳性的改善效果不明显.研究结果可为铁道车辆悬挂系统的参数优化及减振提供参考.