担保债务凭证(collateralized debt obligations，CDOs)是以一篮子债权标的为资产池，发行的偿付次序不同的分券.分券依据不同优先偿付次序承担资产池的损失，附着点(attchment point)、分离点(detachment point)决定了分券发生损失的概率，以及分券所需承担的损失.分券定价类似于计算期权损益，需要刻画计息期内的资产池损失分布，即对于任意损失临界值y估计损失概率P(L>y)以及期望E[L∧y]，意味着刻画资产间的违约相关性.Glassman^[1]指出理论研究中通常以因子Copula模型作为度量资产池相关性的标准模型，Vasicek^[2]指出该模型认为资产的相依结构由隐含变量决定，资产的价值由系统因子和特殊风险因子决定.

违约相关性导致资产池损失分布异常复杂，Glassman^[3]指出大多数情况下没有解析解，所以组合风险管理中广泛运用Monte Carlo模拟方法.然而，Monte Carlo模拟的收敛速度慢、模拟误差大，特别当资产间相关性比较复杂时，或者在定价时需要准确估计损失额度大、发生概率小的事件，普通Monte Carlo模拟方法的计算效率尤为低.如何提升资产池损失刻画的准确性和效率一直以来都是学界探讨的问题.

Monte Carlo模拟的方差可以分解为两部分，如P(L>y)估计值${\hat p_x}$的方差$ {\mathop{\rm var}} [{\hat p_x}] = E[{\mathop{\rm var}} [{\hat p_x}\left| Z \right.]] + {\mathop{\rm var}} [E[{\hat p_x}\left| Z \right.]]$.为了高效评估组合风险，Glassman^[3]采用两步重要性抽样的方法，首先对Z均值平移，然后在Z条件下对违约概率做测度变换，这种方法对估计小概率事件P(L>y)有显著提升，但是对于不同的y都需要重新进行测度变换，导致估计效率并不高，且估计E[L∧y]不适用.Glassman^[1]提出QTA方法对多因子Copula模型的条件Laplace变换近似处理，用于估计E[L∧y]，该方法提升了高维因子模型计算效率，但第一部分方差$ E[{\mathop{\rm var}} [{\hat p_x}\left| Z \right.]]$依旧存在.

根据Anderson^[4]，因子子Copula模型优势在于给定共同影响因子Z，资产池中资产违约与否相互独立，资产池的损失分布可由单个资产损失的卷积得到，计算结果的方差组成第一部分$E[{\mathop{\rm var}} [{\hat p_x}\left| Z \right.]] $为零；同样，Gregory^[5]和Laurent^[6]等证明资产池违约损失的Laplace变换也可以通过单个资产损失的Laplace变换卷积得到，通过Monte Carlo模拟对条件概率积分，进而得到资产池损失分布.

按照上述思路，本文在共同因子Z条件下，计算资产池损失的Laplace变换，运用Abate & Whitt^[7]提出的Laplace逆变换数值方法得到条件值，进而估计无条件违约概率P(L>y), 期望E[L∧y], 这弥补了Glasssman^[3]估计P(L>y)时，需要对不同y重新进行重要性测度变换的不便，减小了Glasssman^[1]估计E[L∧y]结果的方差，Laplace逆变换数值方法所需步数更少，意味着估计效率更高.对任意y，该方法同时适用于估计P(L>y)和E[L∧y]，较大提升了组合风险管理效率.

1 因子Copula模型 1.1 因子Copula模型

度量资产组合信用风险的关键在于刻画资产间违约相关性，理论研究中广泛运用的是Li^[8]提出的Copula模型，核心思想是通过Copula函数连接资产池的联合违约概率分布和单个资产的边际违约概率分布.下面简要介绍该模型.

资产池t时刻的损失L(t)为

$ L\left( t \right) = \sum\limits_{i = 1}^N {{Y_j}{I_j}} $

(1)

式中:N为资产池包含的资产个数; Y_j是j个资产违约产生的损失; I为示性函数.

示性函数间的相关性决定资产的违约相关性，因子Copula模型中，相关性由一系列潜在变量{V₁, …, V_N}决定, 即

$ {I_j} = \left\{ \begin{array}{l} 1\;\;\;\;{V_j} \le {v_j}\\ 0\;\;\;{V_j} < {v_j} \end{array} \right. $

式中:V_j是第j个资产的违约临界值，由边际违约概率P_j决定，v_j=Φ^-1(1-P_j), Φ是其累计密度函数.

在因子Copula模型中资产的价值V_j由两方面因素决定，共同影响因子和个体特殊因子, 即

$ {V_j} = {\rho _j}Z + \sqrt {1 - \rho _j^2} {\xi _j} $

(2)

式中:ρ_j代表资产j(j=1, 2, 3…N)受到共同影响因子的影响程度；Z是一系列共同影响因子，代表资产价值受到市场因素的影响程度；ξ_j是第j个资产的特殊因子，代表资产价值受到自身因素的影响程度.其中，V、Z、ξ_j的分布根据不同情况决定，如Gregory^[5]等运用Clayton Copula；又如Anderson^[4]，Mashal^[9]等引入Student t Copula模型；再如Hull和White^[10]在CDO定价中使用了Double t Copula模型.Kalemanova^[11]在CDO定价中引入NIG(normal inverse Gaussian)分布，实证结果显示对市场数据拟合效果类似Double t Copula.为了探讨金融中“厚尾”“相关性微笑”问题，Moosbrucker^[12]将VG分布因子Copula模型.

因子Copula模型的优势在于其条件独立性，不论因子服从何种分布，在给定共同影响因子Z的条件下，各个资产相互独立，资产j的违约概率为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{P_j}\left( Z \right) = P\left( {{I_j} = 1\left| Z \right.} \right) = P\left( {{V_j} > {v_j}\left| Z \right.} \right) = }\\ {\mathit{\Phi }\left( {\frac{{{\rho _j}Z + {\mathit{\Phi }^{ - 1}}\left( {{P_j}} \right)}}{{\sqrt {1 - \rho _j^2} }}} \right)} \end{array} $

(3)

1.2 Monte Carlo模拟

Copula方法通常需要结合Monte Carlo模拟来估计资产池的损失分布.通过模拟市场情况Z以及每种市场状态下各个资产ξ_i的情况，判断资产i是否违约，计算资产池总损失，得到各个分券层期望损失:

(1) 产生共同影响因子随机数Z，特殊风险因子随机数ξ_i(i=1, 2…N)，在当前市场状态Z下基础资产池中单个资产i的价值为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {V_i^j = \rho {Z_j} + \sqrt {1 - {\rho ^2}} \xi _j^i}\\ {i = 1,2,3 \cdots N;j = 1,2 \cdots n} \end{array} $

(2) 比较资产i的价值与违约临界值的大小，找出违约资产，引入示性函数I_i.

(3) 状态Z下资产池的总损失，记为L_j, 即

$ {L_j} = \sum\limits_{i = 1}^N {{Y_i}{I_i}} $

(4) 将L_j分配到分券层[A, D]中，得到第j次模拟中该分券层的损失L_j[A, D], 即

$ {L_j}\left[ {A,D} \right] = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{L_j} < A}\\ {{L_j} - A}&{A < {L_j} < D}\\ {D - A}&{{L_j} > D} \end{array}} \right. $

(5) 重复上述步骤k次，得到分券层[A，D]的期望损失E[L[A, D]], 即

$ E\left[ {L\left[ {A,D} \right]} \right] = \sum\limits_{j = 1}^k {\frac{{{L_j}\left[ {A,D} \right]}}{k}} $

普通Monte Carlo模拟问题在于，估计的结果误差较大，计算效率并不高.因子模型中，对于任意PL>y估计值$ {\hat p_x}$的方差，可以将其分解为两部分，$ {\mathop{\rm var}} [{\hat p_x}] = E[{\mathop{\rm var}} [{\hat p_x}\left| Z \right.]] + {\mathop{\rm var}} [E[{\hat p_x}\left| Z \right.]]$，给定共同影响因子Z，资产间相互独立.根据Anderson^[4]，资产池的损失分布可以通过单个资产损失的卷积计算得到，且计算结果不受方差组成的第一部分$E[{\mathop{\rm var}} [{\hat p_x}\left| Z \right.]] $影响.下面介绍Laplace变换方法计算条件值.

2 Laplace定价方法

对于一个实数t，其分布函数f(t)的Laplace变换为

$ \hat f\left( s \right) = \int_0^\infty {{{\rm{e}}^{ - st}}f\left( t \right){\rm{d}}t} $

(4)

式中复数s=Re s+ilm s, $ i = \sqrt {-1} $，Re s>0.

f(t)可以通过$\hat f(s) $的Laplace逆变换得到，Abate和Whitt^[7]提出一种快速的数值方法计算这一逆变换，得到f(t)的近似值s_n(t), 即

$ {s_n}\left( t \right) = \frac{{{e^{A/2}}}}{{2t}}\mathit{Re}\left( {\hat f\left( {\frac{B}{{2t}}} \right)} \right) + \frac{{{e^{A/2}}}}{t}\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}{a_k}\left( t \right)} $

(5)

式中，A为任意正实数，则

$ {a_k}\left( t \right) = \mathit{Re}\left( {\hat f\left( {\frac{{B + 2k{\rm{ \mathsf{ π} }}i}}{{2t}}} \right)} \right) $

(6)

对最初n项之后的m项运用欧拉求和函数，得到s_n(t)的近似值, 即

$ E\left( {m,n,t} \right) = \sum\limits_{k = 0}^m {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} m\\ k \end{array}} \right){2^{ - m}}{s_{n + k}}\left( t \right)} $

(7)

在数值试验中，取m=11，n=38，B=19.

假设存在CDO分券层的附着点为A，分离点为D, 付息时间点分别为t₀, t₁, t₂…

根据式(4)资产池损失L的Laplace变换为

$ \phi \left( s \right): = E\left[ {{{\rm{e}}^{ - sL}}} \right] $

(8)

单个资产损失Y_j的Laplace变换为

$ {\varphi _j}\left( s \right): = E\left[ {{{\rm{e}}^{ - s{Y_j}}}} \right] $

因子模型中，给定共同影响因子Z，组合的资产之间相互独立，通过对条件Z下的损失概率P(L>y|Z)、期望E[L∧y|Z]求期望，可以得到无条件值如下:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {P\left( {L > y} \right) = E\left[ {I\left\{ {L > y} \right\}} \right] = }\\ {E\left[ {E\left[ {I\left\{ {L > y} \right\}\left| Z \right.} \right]} \right] = E\left[ {P\left( Z \right)} \right]} \end{array} $

(9)

$ E\left[ {L \wedge y} \right] = E\left[ {E\left[ {L \wedge y\left| Z \right.} \right]} \right] $

(10)

式(8)的条件概率为

$ \begin{array}{l} E\left[ {{e^{ - sL}}\left| Z \right.} \right] = \sum\limits_{j = 1}^N {E\left[ {{{\rm{e}}^{ - s{Y_j}{I_j}}}\left| Z \right.} \right]} = \\ \prod\limits_{j = 1}^N {\left( {E\left[ {{{\rm{e}}^{ - s{Y_j} * 0}}} \right]P\left( {{I_j} = 0} \right)} \right.} + E\left[ {{{\rm{e}}^{ - s{Y_j} * 1}}} \right]P\left( {{I_j} = 1} \right) = \\ \sum\limits_{j = 1}^N {\left( {{{\rm{e}}^{ - s{Y_j}}}{P_j}\left( Z \right) + 1 - {P_j}\left( Z \right)} \right)} \end{array} $

(11)

要得到t_k+1时点分券层[A, D]发生损失的概率，只需要求出P(L>y)，根据式(2.1)，P(L>y)的Laplace转换为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {f{{\hat f}_{PL}}\left( s \right) = \int_0^\infty {{{\rm{e}}^{ - sL}}P\left( {L > l} \right){\rm{d}}l} = }\\ {\int_0^\infty {\int_0^y {{{\rm{e}}^{ - sL}}P\left( {L = y} \right){\rm{d}}l{\rm{d}}y} } = \frac{{1 - \phi \left( s \right)}}{s}} \end{array} $

(12)

将式(10)代入式(5)—式(7)，可以计算得到不同分券着点的损失概率. (t_k, t_k+1]期间，分券层[A, D]承担的期望损失为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left( {E\left[ {D \wedge L\left( {{t_{K + 1}}} \right)} \right] - E\left[ {A \wedge L\left( {{t_{K + 1}}} \right)} \right] - } \right.}\\ {\left( {E\left[ {D \wedge L\left( {{t_K}} \right)} \right] - E\left[ {A \wedge L\left( {{t_K}} \right)} \right]} \right.} \end{array} $

(13)

其中，

$ y \wedge L\left( {{t_K}} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} y&{y > L\left( {{t_K}} \right)}\\ {L\left( {{t_K}} \right)}&{y > L\left( {{t_K}} \right)} \end{array}} \right. $

如果能够计算出CDO存续期内每一个计息时段(t_k, t_k+1]分券层的期望损失，那么就能得到CDO的现金流.所以对CDO定价只需要计算t时刻的期望E[L∧y].同样，根据式(4)，E[L∧y]的Laplace转换为

$ {{\hat f}_{EL}}\left( s \right) = \frac{{1 - \phi \left( s \right)}}{{{s^2}}} $

(14)

将式(12)代入式(5)—式(7)可以计算得到E[L∧y].

总结上述步骤如下:

(1) 产生共同影响因子随机数Z，计算Z条件下的违约概率P_j(Z);

(2) 根据式(11)计算市场Z下资产池损失的Laplace转换；

(3) 根据式(5)—式(7)计算P(L>y|Z)和E[L∧y|Z]；

(4) Monte Carlo模拟计算无条件值P(L>y)和E[L∧y].

对于相关性较强的资产池而言，通过重要性抽样产生的共同影响因子Z~N(μ，1)，从而进一步减小得到结果的方差.估计值为

$ 1\left\{ {L > y} \right\}{{\rm{e}}^{ - {\mu ^{\rm{T}}}Z + {\mu ^{\rm{T}}}\mu /2}} $

(15)

详见Glassman^[3].

为说明上述Laplace定价方法的计算结果的准确性，以及计算效率的优越性，下面与普通的Monte Carlo模拟方法结果进行对比.

3 数值实验

下面通过数值实验更直观反映Laplace方法在计算效率，尤其是对小概率事件的计算效率提升.根据实际情况，违约相关性假设，因子服从分布会有所不同，文献中出现过Student t Copula、Double t Copula、NIG等多种模型评估资产池风险，本文的Laplace方法对于上述Copula模型的估计均适用.下面以业界标准模型——因子高斯Copula模型为例，相关文献可参考Lauren和Gregory^[5-6].

参照Glassman^[1]的数值实验参数设定，以一个基础资产池包含m=1 000个资产的CDO为例，假设资产价值由10因子模型决定，资产的边际违约概率和风险暴露分别为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{p_k} = 0.01 \times \left( {1 + \sin \left( {16{\rm{ \mathsf{ π} }}k/m} \right)} \right)\;\;k = 1, \cdots m}\\ {{C_k} = {{\left( {\left\lceil {5k/m} \right\rceil } \right)}^2}\;\;k = 1, \cdots m} \end{array} $

边际违约概率变动范围为0~2%，均值为1%，风险暴露为1、4、9、16、25的资产各200个.Glassman^[1]指出与固定边际违约概率和风险暴露的模型设定相比，以上设定产生的资产池违约损失更符合现实.此外，相关系数a_kj由区间为$\left( {0, \frac{1}{{\sqrt {10d} }}} \right)$的均匀分布产生，其中d为因子个数.

表 1统计了20万次普通模拟方法和1万次模拟的Laplace方法，分别计算资产组合损失超过某一临界值y的概率以及方差缩减倍数.其中，P_m和P_l是普通模拟方法和Laplace方法计算的概率结果，V_m和V_l是两种方法计算结果对应的方差，方差缩减倍数定义为普通模拟方法结果的方差与Laplace方法结果方差的比值.

由表 1中结果可知，首先，Laplace方法的能够得到稳定模拟结果所需的模拟次数远远低于普通模拟方法；其次，发生大额损失的小概率事件的计算上，与普通模拟方法结果误差较大，Laplace方法精确度更高，这点可以从方差缩减倍数上看出，并且随着损失数值增大，方差缩减倍数逐渐放大；最后，极端事件导致资产池发生巨大损失的情况，大量的普通模拟方法无法产生符合条件的样本，而Laplace方法却能在精度极高的前提下估计损失概率.

表 2统计了两种模拟方法对期望值E[L∧y]的估计结果，与概率估计结果类似，Laplace方法的期望值方差减少倍数随着损失数值的增大，方差缩减倍数逐渐增大.

4 结论

CDO是一种新型的结构化信用衍生产品，在国外被广泛运用，而在国内发行很少.这与资产组合定价的复杂性有关，CDO的定价涉及到资产池中资产的违约率、违约损失、以及资产间的违约相关性的刻画.本文在Copula模型基础上，提出一种精确、高效的Laplace定价方法，并给出了Gaussian Copula模型的数值实验结果.结果表明，Laplace逆变换数值方法可以精确刻画资产池的损失分布，对于任意给定的阈值y，可求解得到概率值P(L>y), 以及期望值E[L∧y]，相比于普通Monte Carlo模拟方法，Laplace方法得到稳定结果所需模拟次数更少，精度更高；此外，Laplace方法对资产组合发生概率小，但是损失数值大的事件的处理优势尤为明显，数值实验结果表明，Laplace方法估计的损失事件发生概率的方差减少倍数，随着损失数值增大而增大.