2019, Vol. 47
2. 同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室, 上海 200092
2. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of the Ministry of Education, Tongji University, Shanghai 200092, China
海洋环境中的钢筋混凝土结构长期遭受氯离子侵蚀作用，其耐久性问题越来越得到人们的关注.海洋环境中的氯离子通过扩散作用从混凝土的暴露表面向内部运输，当钢筋表面的氯离子浓度达到临界浓度，且水分及氧气条件满足时，钢筋表面的钝化膜消失，钢筋开始锈蚀[1-2].在实际情况下，海洋环境中服役的混凝土结构常常是带有裂缝的，比如预制混凝土桩在制作、运输、打入和服役等过程中，经受静荷载及波浪动荷载等的作用，会形成不同形式的裂缝.当管桩受劈裂作用时，外表面混凝土出现V型特征的裂缝，裂缝深度随裂缝宽度增大而增大，当裂缝宽度达到一定阈值后，才形成贯穿裂缝[3].对于一般的混凝土结构，在荷载作用下，结构上会形成不同宽度、不同深度的裂缝.裂缝为氯离子、水分和氧气提供了进入混凝土内部的快速通道，对混凝土结构耐久性产生不利影响[4].混凝土结构耐久性设计中，如果不能正确评价裂缝的影响，会对钢筋混凝土结构耐久寿命计算带来较大误差.因此，研究带裂缝钢筋混凝土结构中氯离子扩散行为及结构耐久寿命具有重要的科学意义.
目前，针对带裂缝混凝土结构中的氯离子运输，国内外已经做了大量研究.Djerbi等[5]对带裂缝的不同类型混凝土进行了氯离子稳态扩散试验，结果表明，当裂缝宽度大于80 μm时，裂缝内的氯离子扩散系数与溶液中的扩散系数相等.Lim等[6]研究了单轴压缩条件下混凝土中氯离子的扩散行为，发现微裂缝面积对氯离子扩散系数存在影响.Marsavina等[7]对存在预置裂缝的混凝土试件进行了氯离子非稳态扩散试验，结果发现当裂缝深度增大时，氯离子的扩散深度增大.Mu等[8]研究了多条裂缝存在时混凝土中氯离子扩散行为，发现裂缝密度对于氯离子扩散同样存在影响.由于裂缝问题本身的复杂性，目前学者大多基于单一参数分析裂缝对混凝土中氯离子运输的影响，不能完整地反映裂缝的影响，尤其对于裂缝深度的研究较少，这样对于非贯通裂缝的影响评价是不准确的，亟待进行相应的试验及理论研究.
针对带裂缝混凝土结构的寿命计算，Kwon等[9]、Lu等[10]、Shao等[11]进行了相应的研究，但这些研究都是在假定裂缝贯通的条件下进行的.对于非贯通的裂缝，目前的理论研究还较少.为此，本文以裂缝宽度和深度作为影响氯离子扩散的主要指标，建立氯离子在带裂缝混凝土中的扩散方程，通过Laplace变换法对其进行求解，分析裂缝宽度及深度对混凝土结构中的氯离子浓度分布及耐久寿命的影响.
1 氯离子在带裂缝混凝土中的扩散 1.1 扩散方程带裂缝混凝土结构中的氯离子扩散为一个复杂的输运过程，为了简化问题，便于求解，特作出以下假设:
(1) 氯离子在裂缝附近的扩散为一维扩散，扩散系数为常数.如图 1所示，在裂缝的深度范围内，氯离子扩散系数为氯离子在裂缝与混凝土中的等效扩散系数Deq；在裂缝的深度范围以外，氯离子扩散系数为氯离子在无裂缝混凝土中的扩散系数D0.
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图 1 带裂缝混凝土中氯离子扩散示意 Fig.1 Chlorine diffusion in cracked concrete |
(2) 裂缝延伸方向正对钢筋.
(3) 混凝土表面氯离子浓度呈现指数型变化[12].
(4) 裂缝为单一裂缝，忽略裂缝之间的相互影响.
设裂缝的深度为dcr，依据Fick第二扩散定律可得带裂缝混凝土结构中氯离子扩散方程为
| $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\partial {C_1}}}{{\partial t}} = {D_{{\rm{eq}}}}\frac{{{\partial ^2}{C_1}}}{{\partial {x^2}}}}&{\left( {0 < x < {d_{{\rm{cr}}}}} \right)}\\ {\frac{{\partial {C_2}}}{{\partial t}} = {D_0}\frac{{{\partial ^2}{C_2}}}{{\partial {x^2}}}}&{\left( {x > {d_{{\rm{cr}}}}} \right)} \end{array}} \right. $ | (1) |
式中:C1为裂缝深度范围内的氯离子浓度; C2为裂缝深度范围以外的氯离子浓度; t为扩散时间; x为氯离子浓度计算深度.方程(1)的初始条件为
| $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{C_1} = 0}&{\left( {0 < x < {d_{{\rm{cr}}}}} \right)}\\ {{C_2} = 0}&{\left( {x > {d_{{\rm{cr}}}}} \right)} \end{array}} \right. $ | (2) |
方程(1)的边界条件为
| $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{C_1} = {C_{\rm{s}}}\left[ {1 - \exp ( - rt)} \right]}&{(x = 0)}\\ {{C_1} = {C_2},{D_{{\rm{eq}}}}\frac{{\partial {C_1}}}{{\partial x}} = {D_0}\frac{{\partial {C_2}}}{{\partial x}}}&{\left( {x = {d_{{\rm{cr}}}}} \right)}\\ {{C_2} = 0}&{(x \to \infty )} \end{array}} \right. $ | (3) |
式中:Cs为混凝土表面氯离子浓度的稳定值; r为混凝土表面氯离子吸附系数.
1.2 方程的求解方程(1)是二阶偏微分方程组，采用Laplace变换法对其进行求解.
对时间t进行Laplace变换，将偏微分方程转换成常微分方程.方程(1)变为
| $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {s{{\tilde C}_1} = {D_{{\rm{eq}}}}\frac{{{{\rm{d}}^2}{{\tilde C}_1}}}{{{\rm{d}}{x^2}}}}&{\left( {0 < x < {d_{{\rm{cr}}}}} \right)}\\ {s{{\tilde C}_2} = {D_0}\frac{{{{\rm{d}}^2}{{\tilde C}_2}}}{{{\rm{d}}{x^2}}}}&{\left( {x > {d_{{\rm{cr}}}}} \right)} \end{array}} \right. $ | (4) |
式中：${\tilde C_1}$为C1的拉普拉斯变换式；${\tilde C_2}$为C2的拉普拉斯变换式；s为拉普拉斯变量.
对边界条件(3)同时进行Laplace变换, 为
| $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\tilde C}_1} = \frac{{{C_{\rm{s}}}r}}{{s(s + r)}}}&{(x = 0)}\\ {{{\tilde C}_1} = {{\tilde C}_2},{D_{{\rm{eq}}}}\frac{{{\rm{d}}{{\tilde C}_1}}}{{{\rm{d}}x}} = {D_0}\frac{{{\rm{d}}{{\tilde C}_2}}}{{{\rm{d}}x}}}&{\left( {x = {d_{{\rm{cr}}}}} \right)}\\ {{{\tilde C}_2} = 0}&{(x \to \infty )} \end{array}} \right. $ | (5) |
方程(4)为二阶常微分方程，其通解为
| $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\tilde C}_1} = {A_1}\exp (\sqrt {\frac{s}{{{D_{{\rm{eq}}}}}}} x) + {B_1}\exp ( - \sqrt {\frac{s}{{{D_{{\rm{eq}}}}}}} x)}\\ {{{\tilde C}_2} = {A_2}\exp (\sqrt {\frac{s}{{{D_0}}}} x) + {B_2}\exp ( - \sqrt {\frac{s}{{{D_0}}}} x)} \end{array}} \right. $ | (6) |
式中A1、A2、B1、B2可由边界条件(5)确定，将式(5)代入式(6)可得
| $ {A_1} + {B_1} = \frac{{{C_{\rm{s}}}r}}{{s(s + r)}} $ | (7) |
| $ {A_2} = 0 $ | (8) |
| $ {B_1} = \frac{{{C_{\rm{s}}}r}}{{s(s + r)\left[ {1 - \frac{{K - 1}}{{K + 1}}\exp \left( { - 2\sqrt {\frac{s}{{{D_{{\rm{eq}}}}}}} {d_{{\rm{cr}}}}} \right)} \right]}} $ | (9) |
| $ \begin{array}{l} {B_2} = \\ \;\;\;\;\frac{{2{C_{\rm{s}}}r \cdot \exp \left( {\sqrt {\frac{s}{{{D_0}}}} {d_{{\rm{cr}}}} - \sqrt {\frac{s}{{{D_{{\rm{eq}}}}}}} {d_{{\rm{cr}}}}} \right)}}{{(K + 1)s(s + r)\left[ {1 - \frac{{K - 1}}{{K + 1}}\exp \left( { - 2\sqrt {\frac{s}{{{D_{{\rm{eq}}}}}}} {d_{{\rm{cr}}}}} \right)} \right]}} \end{array} $ | (10) |
其中$K = \sqrt {\frac{{{D_0}}}{{{D_{{\rm{eq}}}}}}} $.
将系数(7)、(8)、(9)、(10)代回式(6)，可得方程(4)的解为
| $ \begin{array}{l} {{\tilde C}_1} = \\ \frac{{{C_{\rm{s}}}r \cdot \left[ {\exp ( - \sqrt {\frac{s}{{{D_{{\rm{eq}}}}}}} x) - \frac{{K - 1}}{{K + 1}}\exp \left( { - \sqrt {\frac{s}{{{D_{{\rm{eq}}}}}}} \left( {2{d_{{\rm{cr}}}} - x} \right)} \right)} \right]}}{{s\left( {s + r} \right)\left[ {1 - \frac{{K - 1}}{{K + 1}}\exp \left( { - 2\sqrt {\frac{s}{{{D_{{\rm{eq}}}}}}} {d_{{\rm{cr}}}}} \right)} \right]}} \end{array} $ | (11) |
| $ {\tilde C_2} = \frac{{2{C_{\rm{s}}}r \cdot \exp \left[ {(\sqrt {\frac{s}{{{D_0}}}} - \sqrt {\frac{s}{{{D_{{\rm{eq}}}}}}} ){d_{{\rm{cr}}}} - \sqrt {\frac{s}{{{D_0}}}} x} \right]}}{{(K + 1)s(s + r)\left[ {1 - \frac{{K - 1}}{{K + 1}}\exp \left( { - 2\sqrt {\frac{s}{{{D_{{\rm{eq}}}}}}} {d_{{\rm{cr}}}}} \right)} \right]}} $ | (12) |
对上式(11)、(12)进行Laplace逆变换: 令R=$\frac{{K - 1}}{{K + 1}}, |R| < 1$，对${\left[{1- R\exp \left({ - 2\sqrt {\frac{s}{{{D_{{\rm{eq}}}}}}} {d_{{\rm{cr}}}}} \right)} \right]^{ - 1}}$进行级数展开，可得
| $ \begin{array}{l} {{\tilde C}_1} = \frac{{{C_{\rm{s}}}r}}{{s(s + r)}}\left[ {\exp ( - \sqrt {\frac{s}{{{D_{{\rm{eq}}}}}}} x) - \frac{{K - 1}}{{K + 1}}\exp ( - \sqrt {\frac{s}{{{D_{{\rm{eq}}}}}}} \cdot } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\left. {\left. {\left( {2{d_{{\rm{cr}}}} - x} \right)} \right)} \right] \cdot \left[ {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{R^n}\exp \left( { - 2n\sqrt {\frac{s}{{{D_{{\rm{eq}}}}}}} {d_{{\rm{cr}}}}} \right)} } \right] = \\ \begin{array}{*{20}{l}} {\;\;\;\;\;\;\;\frac{{{C_{\rm{s}}}r}}{{s(s + r)}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left[ {{R^n}\exp \left( { - \sqrt s \frac{{x + 2n{d_{{\rm{cr}}}}}}{{\sqrt {{D_{{\rm{eq}}}}} }}} \right) - } \right.} }\\ {\left. {\;\;\;\;\;\;\;{R^{n + 1}}\exp \left( { - \sqrt s \frac{{(2n + 2){d_{{\rm{cr}}}} - x}}{{\sqrt {{D_{{\rm{eq}}}}} }}} \right)} \right]} \end{array} \end{array} $ | (13) |
同理可得
| $ \begin{array}{l} {{\tilde C}_2} = \frac{{2{C_s}r}}{{(K + 1)s(s + r)}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{R^n}} \cdot \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\exp \left[ { - \sqrt s \left( {\frac{{(2n + 1){d_{{\rm{cr}}}}}}{{\sqrt {{D_{{\rm{eq}}}}} }} + \frac{{x - {d_{{\rm{cr}}}}}}{{\sqrt {{D_0}} }}} \right)} \right] \end{array} $ | (14) |
根据Laplace逆变换卷积公式及逆变换公式${L^{ - 1}}\left[ {\frac{1}{s}\exp ( - k\sqrt s )} \right] = erfc \left( {\frac{k}{{2\sqrt t }}} \right)$可得
| $ \begin{array}{l} {C_1} = {C_{\rm{s}}}r \cdot \int_0^t {\exp } [ - r(t - \tau )] \cdot \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left[ {{R^n} erfc \left( {\frac{{x + 2n{d_{{\rm{cr}}}}}}{{2\sqrt {{D_{{\rm{eq}}}}\tau } }}} \right) - } \right.} \\ \;\;\;\;\;\;\;\left. {{R^{n + 1}}erfc \left( {\frac{{(2n + 2){d_{{\rm{cr}}}} - x}}{{2\sqrt {{D_{{\rm{eq}}}}\tau } }}} \right)} \right]{\rm{d}}\tau \end{array} $ | (15) |
| $ \begin{array}{l} {C_2} = \frac{{2{C_{\rm{s}}}r}}{{K + 1}} \cdot \int_0^t {\exp } [ - r(t - \tau )] \cdot \\ \;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left[ {{R^n}erfc \left( {\frac{{(2n + 1){d_{{\rm{cr}}}}}}{{2\sqrt {{D_{{\rm{eq}}}}\tau } }} + \frac{{x - {d_{{\rm{cr}}}}}}{{2\sqrt {{D_0}\tau } }}} \right)} \right]} {\rm{d}}\tau \end{array} $ | (16) |
其中erfc为互补误差函数，erfc(x)=1－$\frac{2}{{\sqrt \pi }}\int_0^x {{{\rm{e}}^{ - {\eta ^2}}}} {\rm{d}}\eta $.
1.3 带裂缝混凝土中氯离子扩散系数氯离子在带裂缝混凝土中的扩散能力通常采用带裂缝混凝土的等效扩散系数Deq来表示.由于裂缝混凝土的非连续性与非均匀性，给理论解析工作造成了很多困难.
Park等[13]在热力学框架内建立了带裂缝混凝土中考虑多种作用的氯离子输运计算方法.Ye等[14]基于通量相等原理，建立了综合考虑裂缝不同参数的裂缝混凝土中的氯离子输运模型.但这些模型都是以稳态扩散为基础，与实际的非稳态扩散过程存在一定差异，相关模型的适用性还需要进一步验证.
在试验及现场测试中，为了简化分析，裂缝宽度常常被作为主要的控制参数，学者们针对裂缝宽度对带裂缝混凝土中氯离子输运的影响进行了大量的研究.很多学者[9, 15-16]发现裂缝宽度对于带裂缝混凝土中的氯离子运输影响很大，带裂缝混凝土中的等效氯离子扩散系数Deq可以表示成无裂缝混凝土中的氯离子扩散系数D0和裂缝宽度wcr的函数，如式(17):
| $ {D_{{\rm{eq}}}} = f\left( {{w_{{\rm{cr}}}}} \right) \cdot {D_0} $ | (17) |
式中:f(wcr)为表征裂缝宽度wcr对氯离子扩散性能的影响的劣化效应函数, wcr为裂缝宽度.
Kwon等[9]对码头混凝土进行了现场测试，得到了存在早期裂缝的混凝土中氯离子等效扩散系数与裂缝宽度的关系式(18).陆春华等[15]对于受弯开裂混凝土进行了氯盐干湿循环试验，利用双重孔隙介质模型获得了裂纹宽度影响的经验式(19).左国望等[16]同样对不同裂缝宽度的开裂混凝土进行了氯盐干湿循环试验，得到了相应的式(20).
| $ f\left( {{w_{{\rm{cr}}}}} \right) = 31.61w_{{\rm{cr}}}^2 + 4.73{w_{{\rm{cr}}}} + 1 $ | (18) |
| $ f\left( {{w_{{\rm{cr}}}}} \right) = 47.18w_{{\rm{cr}}}^2 - 8.18{w_{{\rm{cr}}}} + 1 $ | (19) |
| $ f\left( {{w_{{\rm{cr}}}}} \right) = 7.84w_{{\rm{cr}}}^3 - 16.54w_{{\rm{cr}}}^2 + 16.26{w_{{\rm{cr}}}} + 1 $ | (20) |
从图 2可以看出，式(18)和式(20)的取值比较接近，式(19)的取值略小于式(18)和式(20).由于带裂缝混凝土中的氯离子扩散是非稳态扩散，短时间内的试验结果可能会产生较大的误差，式(18)是对服役7年和11年的裂缝混凝土结构进行现场检测得到的结果，结果更加稳定.本文采用式(18)作为后续计算的等效氯离子扩散系数值.
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图 2 裂缝宽度对等效扩散系数的影响 Fig.2 Effect of crack width on equivalent diffusion coefficient |
根据已有试验数据，无裂缝混凝土中的氯离子扩散系数D0可以表示成水灰比(w/c)的函数[17]：
| $ {D_0} = {10^{ - 3.9{{(w/c)}^2} + 7.2(w/c) - 14.0}} $ | (21) |
对于裂缝非贯通条件下混凝土中氯离子的扩散计算，目前尚没有相应的理论解析，而无裂缝混凝土和裂缝贯穿混凝土中的氯离子扩散已有常用的基于Fick第二定律的解析解.为验证本文方法的正确性，采用本文计算得到的结果与该理论解析解进行对比.
氯离子在混凝土中的扩散符合Fick第二定律，扩散方程为
| $ \frac{{\partial C}}{{\partial t}} = D\frac{{{\partial ^2}C}}{{\partial {x^2}}} $ | (22) |
式中：C为氯离子浓度; D为氯离子扩散系数(无裂缝混凝土中氯离子扩散系数为D0, 裂缝贯通条件下氯离子扩散系数为Deq).
对于初始条件为t=0、x>0时，C=0；边界条件x=0、t>0时，C=Cs，可以解得氯离子不同时间、不同位置的浓度分布为
| $ C = {C_{\rm{s}}}\left( {1 - erf \left( {\frac{x}{{2\sqrt {Dt} }}} \right)} \right) $ | (23) |
其中erf为误差函数，$erf (x) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int_0^x {{{\rm{e}}^{ - {\eta ^2}}}} {\rm{d}}\eta $.
为了验证本文模型的正确性，取2种情况与式(23)进行对比.①无裂缝混凝土中氯离子扩散：dcr=0；②裂缝贯通条件下的氯离子扩散，wcr=0.3 mm，dcr=1×105 mm(dcr取一较大值，模拟裂缝贯通的情况).暴露时间为30年, Cs=9.0 kg·m-3，w/c=0.3，r=1.0×10-5 s-1 (r取一较大值，加快混凝土表面氯离子吸附过程，模拟表面氯离子浓度为常数的情况).从图 3可以看出，本文模型与式(23)在无裂缝和裂缝贯通条件下的吻合情况良好，验证了本文模型的正确性.
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图 3 本文模型与式(23)对比 Fig.3 Comparison between formula (23) and the model in this paper |
Sahmaran[18]对砂浆梁进行弯曲加载以产生不同宽度和深度的裂缝，在氯盐溶液中暴露30 d后测量裂纹区的氯离子浓度分布.无裂缝砂浆中的氯离子扩散系数为2.34×10-11 m2·s-1, 试验中所采用的氯离子浓度为氯离子占砂浆质量的分数，可按照砂浆密度2 000 kg·m-3进行转换.表面氯离子质量浓度为Cs=10.5 kg·m-3.由于试验中没有记录表面氯离子浓度随时间的变化，且氯离子在无裂缝砂浆中的扩散系数是根据氯离子表面浓度为常数的模型计算而来，本文也采用表面氯离子浓度为常数进行对比.图 4给出了计算结果与试验数据的对比情况，计算结果与试验数据基本一致，表明本文计算方法具有一定的准确性.
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图 4 本文模型与试验数据对比 Fig.4 Comparison between test data and the model in this paper |
设混凝土的水灰比为w/c=0.3，裂缝宽度取为0.1 mm、0.2 mm和0.3 mm.混凝土表面氯离子吸附系数r=2.9×10-7 s-1.设置2种不同的服役情况[11]：①假定混凝土结构服役于离海岸线100 m处的环境条件，此时混凝土表面的氯离子浓度稳定值Cs=4.5 kg·m-3；②假定混凝土结构服役于海水中，此时混凝土表面的氯离子浓度稳定值Cs=9.0 kg·m-3.设置2种不同的保护层厚度(dc=50 mm和70 mm).假定临界氯离子浓度Cth=1.2 kg·m-3.以下为裂缝深度和宽度对海洋环境中钢筋混凝土结构中氯离子浓度分布和耐久寿命的影响分析.
3.1 裂缝对氯离子浓度分布的影响图 5和图 6分别给出了2种服役环境下服役时间为30年时混凝土中的氯离子浓度分布.裂缝的深度分别为0 mm、40 mm、80 mm和裂缝贯通的情况.对于同一服役环境和裂缝宽度，比较裂缝非贯通条件下和裂缝贯通条件下混凝土中的氯离子浓度分布，当计算点深度在裂缝深度范围内时，裂缝非贯通条件下的氯离子浓度大于裂缝贯通条件下的氯离子浓度，且差值随着深度的增大逐渐增加；当计算点深度大于裂缝深度时，随着深度增大，裂缝非贯通条件下的氯离子浓度迅速降低，并逐渐趋近于无裂缝条件下的氯离子浓度.
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图 5 Cs=4.5 kg·m-3、t=30年时混凝土中氯离子浓度分布 Fig.5 Chloride concentration profiles after an exposure period of 30 years for Cs= 4.5 kg·m-3 |
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图 6 Cs=9.0 kg·m-3、t=30年时混凝土中氯离子浓度分布 Fig.6 Chloride concentration profiles after an exposure period of 30 years for Cs= 9.0 kg·m-3 |
随着裂缝深度增大，裂缝非贯通条件下的氯离子浓度和裂缝贯通条件下的氯离子浓度整体差异减小.而当裂缝深度较小时，两者的差异较大，采用裂缝贯通情况来计算氯离子浓度分布是不合适的.
随着裂缝宽度的增大，裂缝非贯通条件下的氯离子浓度和裂缝贯通条件下的氯离子浓度整体差异性增大.取非贯通裂缝的裂缝深度处的氯离子浓度与裂缝贯通条件下相同深度的氯离子浓度进行比较.由图 5，表面氯离子浓度为Cs=4.5 kg·m-3, 服役条件下，当裂缝宽度wcr=0.1 mm时，非贯通裂缝dcr=40 mm、dcr=80 mm在裂缝深度处(x=40 mm、x=80 mm)的氯离子浓度比裂缝贯通情况下(dcr=∞)相同深度的氯离子浓度增大了14.0%和14.5%；当wcr=0.2 mm时，相同条件下氯离子浓度分别增大了24.9%和28.6%；当wcr=0.3 mm时，相同条件下氯离子浓度分别增大了28.1%和39.1%.
3.2 裂缝对混凝土结构耐久寿命的影响以钢筋表面氯离子浓度达到临界浓度的时间作为混凝土结构的寿命.为了研究不同保护层厚度情况下裂缝深度对结构耐久寿命的影响，对裂缝深度进行归一化，得到裂缝深度与保护层厚度比值dcr/dc.图 7和图 8分别给出了2种不同服役环境下混凝土结构寿命与裂缝宽度和裂缝深度与保护层厚度比值dcr/dc的关系.从图中可以看出：
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图 7 Cs=4.5 kg·m-3时的混凝土结构寿命 Fig.7 Life of the concrete structure when Cs=4.5 kg·m-3 |
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图 8 Cs=9.0 kg·m-3时的混凝土结构寿命 Fig.8 Life of the concrete structure when Cs=9.0 kg·m-3 |
当dcr/dc < 1.0时，随着dcr/dc增大，钢筋混凝土结构耐久寿命逐渐减小；当dcr/dc=1.0时，结构耐久寿命取得最小值；dcr/dc>1.0时，随dcr/dc增大，结构耐久寿命有小幅度的增大，并逐渐趋于稳定.dcr/dc=1.6时的结构耐久寿命和裂缝贯通时的耐久寿命差值小于0.1年，0.1年相对于结构的耐久寿命来说是很小的，所以当dcr/dc>1.6时，可按裂缝贯通计算结构耐久寿命.当dcr/dc < 1.6时，随着dcr/dc的变化，结构耐久寿命变化较大，按照裂缝贯通来计算混凝土结构寿命会带来较大误差.
当dcr/dc由0增大到1.0，裂缝宽度越大，带裂缝混凝土结构耐久寿命的变化率越大.由图 7a，当dcr/dc由0增大到1.0，裂缝宽度为0.1 mm、0.2 mm和0.3 mm的混凝土结构耐久寿命分别降低了50.4%、75.0%和83.2%.当dcr/dc由1.0增大到1.6，裂缝宽度越大，带裂缝混凝土寿命的变化率越小.由图 7a，dcr/dc由1.0增大到1.6，裂缝宽度为0.1 mm、0.2 mm和0.3 mm的钢筋混凝土结构耐久寿命分别增大了7.4%、7.0%和2.8%.
对比图 7a和7b可以看出，当裂缝宽度、dcr/dc和表面氯离子浓度均相同时，保护层厚度dc=50 mm的钢筋混凝土结构耐久寿命约为保护层厚度dc=70 mm的结构耐久寿命的50%.对比图 7a和8a可以看出，当裂缝宽度、dcr/dc和保护层厚度均相同时，服役环境为Cs=4.5 kg·m-3的钢筋混凝土结构耐久寿命约为服役环境为Cs=9.0 kg·m-3的结构耐久寿命的55%.这说明服役环境和保护层厚度对于混凝土结构的耐久寿命有重要影响.
4 结论建立了氯离子在裂缝非贯通条件下混凝土中的扩散方程并获得其解析解.通过算例分析对裂缝非贯通条件下混凝土结构的耐久寿命进行了预测，并分析了裂缝宽度、裂缝深度、保护层厚度和服役环境对氯离子浓度分布和结构耐久寿命的影响，主要结论如下：
(1) 裂缝非贯通条件下的氯离子浓度分布和裂缝贯通条件下的氯离子浓度分布有一定的差异性.当计算点深度在裂缝深度范围内时，裂缝非贯通条件下氯离子浓度大于裂缝贯通条件下的氯离子浓度，且差值随着计算点深度的增大逐渐增加.当计算点深度超过裂缝深度后，裂缝非贯通条件下氯离子浓度迅速降低，且逐渐趋近于无裂缝混凝土结构中的氯离子浓度.
(2) 裂缝的深度越小、宽度越大，则裂缝非贯通条件下的氯离子浓度与裂缝贯通条件下的氯离子浓度差异越大.
(3) 裂缝深度与保护层厚度比值dcr/dc < 1.0时，随着dcr/dc增大，钢筋混凝土结构耐久寿命逐渐减小.当dcr/dc =1.0时，混凝土寿命最小.当dcr/dc>1.0时，随dcr/dc增大，结构耐久寿命小幅增大，并逐渐趋于稳定.当dcr/dc>1.6时，结构耐久寿命可近似按裂缝贯通时的情况计算.
(4) 服役环境和保护层厚度对于混凝土结构的耐久寿命有重要影响，当保护层厚度减小、表面氯离子浓度增大时，钢筋混凝土结构耐久寿命降低.
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