设R是一个结合环.若R中的元素a满足2a=0可推出a=0, 则称R是一个2-torsion free环.若R中的元素a和b满足aRb={0}可以推出a=0或者b=0, 则称R是一个素环.若R中的元素a满足aRa={0}可以推出a=0, 则称R是一个半素环.设D: R→R是一个线性映射.若对于R中的任意元素a满足D(a²)=D(a)a+aD(a), 则称D是一个Jordon导子.如果对于R中任意的2个元素a和b成立D(ab)=D(a)b+aD(b), 称D是R上的一个导子.设m是R中的一个固定元素, 对任意的x∈R, 定义D_m(x)=[m, x], 显然地, D_m是R上的一个导子, 此时称D_m(x)为R上的一个内导子. Kadison^[1]和Skai^[2]运用不同的方法证明了von Neumann代数上的导子是内导子.

1990年, Kadison^[3]以及Larson和Sourour^[4]提出局部导子的问题.设$\mathscr{A}$是一个代数, θ是$\mathscr{A}$上的一个线性映射, 若对于$\mathscr{A}$中的任意元A, 存在一个依赖于A的导子θ_A使得θ(A)=θ_A(A), 则称θ是$\mathscr{A}$上的一个局部导子.近年来, 很多学者在不同代数上研究讨论了局部导子, 并且在不同代数中证明了局部导子就是导子, 参见文献[3, 5-7]等.

1997年, Šemrl^[8]引入2-局部导子的定义.设$\mathscr{A}$是一个代数, δ是$\mathscr{A}$上的一个(没有必要线性的)映射.若对于$\mathscr{A}$中的任意2个元素A和B, 存在依赖于A和B的一个导子δ_{A, B}, 使得δ(A)=δ_{A, B}(A)以及δ(B)=δ_{A, B}(B), 则称δ是$\mathscr{A}$上的一个2-局部导子. Šemrl^[8]描述了B(H)上的2-局部导子, 其中B(H)是无限维可分的希尔伯特空间H上的有界线性算子构成的集合.之后, 文献[9]给出了有限维希尔伯特空间上的类似描述.文献[10]描述了定义在有限维除环上的矩阵代数的2-局部导子.文献[11]给出了一种新的技巧和研究方法, 将文献[8]和[9]推广到了任意的希尔伯特空间H上, 也就是文献[8]和[9]中的希尔伯特空间可以是任意的, 当然也可以不可分, 并且证明了B(H)上的2-局部导子是导子.文献[12]又给出了另外一种新的技巧方法, 再次将文献[8]、[9]以及文献[11]推广到了任意的Ⅰ型von Neumann代数上, 证明了这些代数上的每个2-局部导子都是导子.文献[13]给出了一个类似的结果, 证明了有限von Neumann代数上的2-局部导子是导子.文献[14]证明了半有限von Neumann代数上2-Local导子是导子.

在局部导子的推动之下, 文献[15]引入了巴拿赫代数上的逼近局部导子的定义.设$\mathscr{A}$是一个巴拿赫代数,$\mathscr{X}$是巴拿赫$\mathscr{A}$-模, 称算子D:$\mathscr{A}$ →$\mathscr{X}$是一个逼近局部导子, 若对于$\mathscr{A}$中的任意元素A, 存在一列从$\mathscr{A}$到$\mathscr{X}$的导子{D_n^A}使得$D(A)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} D_{n}^{A}(A)$.其部分结果见文献[15].在2-局部导子和逼近局部导子的基础之上, 文献[16]中自然地定义了von Neumann代数$\mathscr{M}$上的逼近2-局部导子, 并证明了有限von Neumann代数$\mathscr{M}$上的逼近2-局部导子是导子.因此猜想半有限von Neumann代数$\mathscr{M}$上的逼近2-局部导子是不是导子.如果不是的话, 那von Neumann代数$\mathscr{M}$和逼近2-局部导子Δ需要满足什么条件逼近2-局部导子Δ才是一个导子.本文重点研究了半有限von Neumann代数$\mathscr{M}$上的逼近2-局部导子.设$\mathscr{M}$是一个von Neumann代数, Δ:$\mathscr{M}$→$\mathscr{M}$是一个逼近2-局部导子.易证明Δ具有齐次性并且满足对于任意的x∈$\mathscr{M}$有Δ(x²)=Δ(x)x+xΔ(x).若$\mathscr{M}$是具有半有限迹τ的von Neumann代数, 给出了$\mathscr{M}$到自身的逼近2-局部导子Δ具有可加性的一个充分条件, 即Δ满足Δ($\mathscr{M}$_τ)⊆$\mathscr{M}$_τ, 其中$\mathscr{M}$_τ={x∈$\mathscr{M}$:τ(|x|) < ∞}.从而根据文献[17]中已有结论, 即2-torsion free半素环R到R自身的Jordon导子是一个导子, 得到:具有半有限迹τ的von Neumann代数$\mathscr{M}$到自身的逼近2-局部导子Δ若满足Δ($\mathscr{M}$_τ)⊆$\mathscr{M}$_τ, 其中$\mathscr{M}$={x∈$\mathscr{M}$:τ(|x|) < ∞}, 则Δ是一个导子.该结论显然是文献[14]和文献[16]中主要结果的一个推广.

1 预备知识

以下介绍一些文章中涉及到的基本概念和证明主要结论所用到的一些基本结果.

定义1^[18]   设$\mathscr{M}$是一个von Neumann代数.

(1) 映射τ:$\mathscr{M}$₊→[0, ∞]称为$\mathscr{M}$上的迹, 如果τ满足: ①对于$\mathscr{M}$₊任意的2个元素x、y以及任意的λ>0, 有τ(x+λy)=τ(x) +λτ(y); ②对于$\mathscr{M}$中的任意元素x, 有τ(x^*x)=(xx^*).

(2) 迹τ称为正规的, 如果对$\mathscr{M}$₊中任一有界单增网{x_i}有sup_iτ(x_i)=τ(sup_ix_i); 称τ为有限的, 如果τ(1) < ∞; 称τ为半有限的, 如果对$\mathscr{M}$₊的任一非零元x, 存在$\mathscr{M}$₊中的一个非零元y, 使得y≤x且τ(y) < ∞; 称τ为忠实的, 如果$\mathscr{M}$₊中的元x使得τ(x)=0有x=0.

(3) 如果τ是$\mathscr{M}$上的一个正规忠实的半有限迹, 称($\mathscr{M}$, τ)是一个非交换测度空间.

引理1^[18]   设($\mathscr{M}$, τ)是一个非交换测度空间.存在$\mathscr{M}$中的一族单调递增的投影{e_i}_i∈I使得对每个i∈I有τ(e_i) < ∞且{e_i}_i∈I按强算子拓扑收敛到1.

定义2^[18]   令$\mathscr{S}$₊($\mathscr{M}$)={x∈$\mathscr{M}$₊:τ(s(x)) < ∞}, 其中s(x)是x的支撑, 记$\mathscr{S}$($\mathscr{M}$)是$\mathscr{S}$₊($\mathscr{M}$)中元素的线性组合构成的集合.称$\mathscr{S}$($\mathscr{M}$)中的元为τ有限支撑的.令0<p < ∞且x∈$\mathscr{S}$($\mathscr{M}$), 则|x|^p∈$\mathscr{S}$($\mathscr{M}$).定义‖x‖_p =(τ(|x|^p))^1/p, 相应于($\mathscr{M}$, τ)的非交换L_p空间L_p($\mathscr{M}$, τ)定义为(S, ‖   ‖_p)的完备化.为了方便起见, 令L_∞($\mathscr{M}$)=$\mathscr{M}$, 其范数为算子范数, 即‖x‖_∞=‖x‖.

引理2^[19]  设$\mathscr{M}$是一个具有半有限迹τ的von Neumann代数.记$\mathscr{M}$_τ={x∈$\mathscr{M}$:τ(|x|) < ∞}.则$\mathscr{M}$_τ是一个* -代数且是$\mathscr{M}$的一个双边理想.显然地,$\mathscr{M}$_τ⊆L₁($\mathscr{M}$).

注1   $\mathscr{M}$_τ定义如上, 设D是$\mathscr{M}$_τ上的一个内导子，则D($\mathscr{M}$_τ)⊆$\mathscr{M}$_τ.实际上, 设x∈$\mathscr{M}$_τ, 由文献[1]或者文献[2]可知von Neumann代数上的导子是内导子, 故存在a∈$\mathscr{M}$使得D(x)=[a, x]=ax-xa.由引理2可知, ax, xa ∈$\mathscr{M}$_τ, 从而得到D(x)∈$\mathscr{M}$_τ.

引理3^[18]   令0 < r, p, q < ∞使得1/r=1/p+1/q, 则‖xy‖_r≤‖x‖_p‖y‖_q, 其中x∈L_p($\mathscr{M}$), y∈L_q($\mathscr{M}$).

引理4^[18]   令{a_i}为$\mathscr{M}$中一个有界网且强收敛于a, 则对0 < p < ∞和任意的x∈L_p($\mathscr{M}$), 在L_p($\mathscr{M}$)中有xa_i→xa.

定理1^[17]   设R是一个2-torsion free半素环, 则Jordon导子D: R→R是一个导子.

2 主要结果及其证明

目标在于研究半有限von Neumann代数上的逼近2-局部导子是不是导子的问题.主要结果及其证明主要围绕定理1^[17]展开.实际上容易证明任意的von Neumann代数是2-torsion free半素环以及von Neumann代数上的2-局部导子是齐次的且满足:对于任意的x∈$\mathscr{M}$有Δ(x²)=Δ(x)x+xΔ(x)成立, 所以对于所研究问题关键需要知道半有限von Neumann代数$\mathscr{M}$上的逼近2-局部导子Δ是否具有可加性.如果不是的话,$\mathscr{M}$和Δ满足什么条件才能保证Δ的可加性.

首先给出von Neumann代数上逼近2-局部导子的定义.

定义3   给定一个von Neumann代数$\mathscr{M}$, 称(不一定是线性)映射Δ:$\mathscr{M}$→$\mathscr{M}$是一个逼近2-局部导子, 如果对于任意的2个元x, y∈$\mathscr{M}$, 存在一列依赖于x和y的导子{D_n^{x, y}}, 使$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} D_{n}^{x, y}(x)=\varDelta(x)$且$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} D_{n}^{x, y}(y)=\varDelta(y)$, 这里的收敛指的是范数收敛.

引理5   设Δ是von Neumann代数$\mathscr{M}$上的逼近2-局部导子, 则Δ是齐次的, 即对于$\mathscr{M}$中任意元x以及λ∈$\mathbb{C}$成立Δ(λx)=λΔ(x).

证明  设x∈$\mathscr{M}$, λ∈$\mathbb{C}$.由于Δ是一个逼近2-局部导子, 因此存在一列依赖于x和λx的导子{D_n^{x, λx}}使得$\varDelta(x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} D_{n}^{x, \lambda x}(x), \varDelta(\lambda x)=$ $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} D_{n}^{x, \lambda x}(\lambda x)$.从而$\varDelta(\lambda x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} D_{n}^{x, \lambda x}(\lambda x)=\lambda \cdot$ $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} D_{n}^{x, \lambda x}(x)=\lambda \varDelta(x)$.

因此, Δ是齐次的.

引理6   设Δ是von Neumann代数$\mathscr{M}$上的逼近2-局部导子, 则对于任意的x∈$\mathscr{M}$, 有Δ(x²)=Δ (x)x+xΔ(x)成立.

证明  对于任意的x∈$\mathscr{M}$, 由于Δ是一个逼近2-局部导子, 因此存在一列依赖于x和x²的导子{D_n^{x, x2}}使得$\varDelta(x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} D_{n}^{x, x^{2}}(x)$及$\varDelta\left(x^{2}\right)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} D_{n}^{x, x^{2}}\left(x^{2}\right)$.从而$\varDelta\left(x^{2}\right)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} D_{n}^{x \cdot x^{2}}\left(x^{2}\right)=$ $x \lim\limits_{n \rightarrow \infty} D_{n}^{x, x^{2}}(x)+\lim\limits_{n \rightarrow \infty} D_{n}^{x, x^{2}}(x) x=x \varDelta(x)+\varDelta(x) x$.证毕.

下面给出一个引理, 该结果在后面主要引理8的证明中起到了很关键的作用.

引理7   设Δ是具有半有限迹τ的von Neumann代数$\mathscr{M}$上的逼近2-局部导子, 且满足Δ($\mathscr{M}$_τ)⊆$\mathscr{M}$_τ, 其中$\mathscr{M}$_τ={x∈$\mathscr{M}$:τ(|x|) < ∞}, 则对于任意的x∈$\mathscr{M}$, y∈$\mathscr{M}$_τ有τ(Δ(x)y)=-τ(xΔ(y))成立.

证明  设x∈$\mathscr{M}$, y∈$\mathscr{M}$_τ.由于Δ是$\mathscr{M}$上的逼近2-局部导子, 因此存在一列依赖于x和y的导子{D_n^{x, y}}, 使$\varDelta(x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} D_{n}^{x, y}(x)$以及$\varDelta(y)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} D_{n}^{x, y}(y)$.

根据文献[1]或者文献[2], 对于任意的n∈N⁺, D_n^{x, y}是$\mathscr{M}$上的一个内导子, 因此, 存在m_n∈$\mathscr{M}$使得

$ \left[m_{n}, x y\right]=D_{n}^{x, y}(x y)=D_{n}^{x, y}(x) y+x D_{n}^{x, y}(y) $

(1)

根据引理2、注1以及条件Δ($\mathscr{M}$_τ)⊆$\mathscr{M}$_τ易知, [m_n, xy], D_n^{x, y}(xy), D_n^{x, y}(x)y, xD_n^{x, y}(y), Δ(x)y, xΔ(y)∈$\mathscr{M}$_τ, 因此可以对式(1)两边用半有限迹τ进行作用, 得到

$ 0=\tau\left(D_{n}^{x, y}(x) y\right)+\tau\left(x D_{n}^{x, y}(y)\right) $

从而

$ \tau\left(D_{n}^{x, y}(x) y\right)=-\tau\left(x D_{n}^{x, y}(y)\right) $

(2)

接下来分别证明

$ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \tau\left(D_{n}^{x , y}(x) y\right)=\tau(\varDelta(x) y) $

(3)

以及

$ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \tau\left(x D_{n}^{x , y}(y)\right)=\tau(x \varDelta(y)) $

(4)

首先证明式(3), 实际上

$ \begin{array}{c}{\left|\tau\left(D_{n}^{x, y}(x) y\right)-\tau(\varDelta(x) y)\right|=} \\ {\quad\left|\tau\left(\left(D_{n}^{x, y}(x)-\varDelta(x)\right) y |\right.\right.}\end{array} $

(5)

根据引理2中的$\mathscr{M}$_τ⊆L₁($\mathscr{M}$)以及引理3可得

$ \begin{array}{c}{\left|\tau\left(\left(D_{n}^{x, y}(x)-\varDelta(x)\right) y\right)\right| \leqslant} \\ {\left\|D_{n}^{x, y}(x)-\varDelta(x)\right\|\|y\|_{1}}\end{array} $

(6)

对上式关于n取极限, 结合逼近2-局部导子的定义可得不等式(6)右端趋近于零.综上得到式(3), 即

$ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \tau\left(D_{n}^{x, y}(x) y\right)=\tau(\varDelta(x) y) $

下面证明式(4).

由引理1, 存在M中的一族单调递增的投影{e_i}_i∈I使得对每个i∈I有τ(e_i) < ∞且{e_i}_i∈I按强算子拓扑收敛到1.显然, {e_i}_i∈I⊆$\mathscr{M}$_τ是$\mathscr{M}$中的一个有界网.此外, 由引理2可知e_ixD_n^{x, y}(y), e_ixΔ(y)∈$\mathscr{M}$_τ.因此有

$ \begin{aligned} \left|\tau\left(x D_{n}^{x, y}(y)\right)-\tau(x \varDelta(y))\right| \leqslant | \tau\left(x D_{n}^{x, y}(y)\right)- & \\ \tau\left(e_{i} x D_{n}^{x , y}(y)\right)|+| \tau\left(e_{i} x D_{n}^{x , y}(y)\right)-& \\ \tau\left(e_{i} x \varDelta(y)\right)|+| \tau\left(e_{i} x \varDelta(y)\right)-\tau(x \varDelta(y)) | \end{aligned} $

接下来对上述不等式右端进行讨论.

由于{e_i}_i∈I是$\mathscr{M}$中的一个有界网且{e_i}_i∈I按强算子拓扑收敛到1以及xD_n^{x, y}(y)∈$\mathscr{M}$_τ⊆L₁($\mathscr{M}$), 则根引理3以及引理4, 有

$ \begin{aligned} | \tau\left(x D_{n}^{x, y}(y)\right)-\tau\left(e_{i} x D_{n}^{x, y}(y)\right) & |=\\\left|\tau\left(x D_{n}^{x, y}(y)-e_{i} x D_{n}^{x, y}(y)\right)\right| & | \leqslant \\ \tau\left(\left|x D_{n}^{x, y}(y)-e_{i} x D_{n}^{x, y}(y)\right|\right) & \rightarrow 0 \end{aligned} $

(7)

结合e_i x∈$\mathscr{M}$_τ⊆L₁($\mathscr{M}$), 引理3以及逼近2-局部导子的定义, 有式(8)成立.

$ \begin{array}{l}{\left|\tau\left(e_{i} x D_{n}^{x, y}(y)\right)-\tau\left(e_{i} x \varDelta(y)\right)\right| \leqslant} \\ {\left\|e_{i} x\right\|_{1}\left\|D_{n}^{x, y}(y)-\varDelta(y)\right\| \rightarrow 0}\end{array} $

(8)

由Δ($\mathscr{M}$_τ)⊆$\mathscr{M}$_τ可知对于任意的y∈$\mathscr{M}$_τ, 有Δ(y)∈$\mathscr{M}$_τ⊆L₁($\mathscr{M}$), 根据引理2可知xΔ(y)∈$\mathscr{M}$_τ⊆L₁($\mathscr{M}$).结合{e_i}_i∈I是$\mathscr{M}$中的一个有界网且{e_i}_i∈I按强算子拓扑收敛到1, 引理3以及引理4有

$ \begin{array}{l}{\left|\tau\left(e_{i} x \varDelta(y)\right)-\tau(x \varDelta(y))\right| \leqslant} \\ {\tau\left(\left|e_{i} x \varDelta(y)-x \varDelta(y)\right|\right) \rightarrow 0}\end{array} $

(9)

结合式(7)、(8)以及(9), 得到式(4).从而由式(3)和(4)得到所要证明的结果, 即对于任意的x∈$\mathscr{M}$, y∈$\mathscr{M}$_τ有τ(Δ(x)y)=-τ(xΔ(y))成立.证毕.

引理8   设Δ是具有半有限迹τ的von Neumann代数$\mathscr{M}$上的逼近2-局部导子, 满足Δ($\mathscr{M}$_τ)⊆$\mathscr{M}$_τ, 其中$\mathscr{M}$_τ={x∈$\mathscr{M}$:τ(|x|) < ∞}, 则Δ是一个可加映射, 即对于任意的x, y∈$\mathscr{M}$成立Δ(x+y)=Δ(x)+Δ(y).

证明  根据引理7, 对于任意的u, v∈$\mathscr{M}$以及w∈$\mathscr{M}$_τ成立, 有下式成立：

$ \begin{array}{c}{\tau(\varDelta(u+v) w)=-\tau((u+v) \varDelta(w))=} \\ {-\tau(u \varDelta(w))-\tau(v \varDelta(w))=} \\ {\tau(\varDelta(u) w)+\tau(\varDelta(v) w)=} \\ {\tau((\varDelta(u)+\varDelta(v)) w)}\end{array} $

从而τ((Δ(u+v)-(Δ(u)+Δ(v))w)=0.

令b=Δ(u+v)-(Δ(u)+Δ(v)), 则对于任意的w∈$\mathscr{M}$_τ, 有τ(bw)=0.同样根据引理1, 存在$\mathscr{M}$中的一族单调递增的投影{e_i}_i∈I使得对每个i∈I有τ(e_i) < ∞且{e_i}_i∈I按强算子拓扑收敛到1.由引理2可知{e_ib^*}_i∈I⊂$\mathscr{M}$_τ.因此, 对于任意的i∈I, τ(be_ib^*)=0成立.由于τ是正规的, 故有τ(be_ib^*)关于i∈I单调递增收敛于τ(bb^*), 因此τ(bb^*)=0, 结合τ的忠实性有bb^*=0, 即b=0.从而得到对于任意的u, v∈$\mathscr{M}$, 有Δ(u+v)=Δ(u)+Δ(v)成立, 证得Δ在半有限von Neumann代数上是可加的.证毕.

由引理5、6以及引理8, 可得到如下结果.

引理9   设Δ是具有半有限迹τ的von Neumann代数$\mathscr{M}$上的逼近2-局部导子且满足Δ($\mathscr{M}$_τ)⊆$\mathscr{M}$_τ, 其中$\mathscr{M}$_τ={x∈$\mathscr{M}$: τ(|x|) < ∞}, 则Δ是$\mathscr{M}$上的一个Jordon导子.

以下给出最主要的一个结果.

定理2   设Δ是具有半有限迹τ的von Neumann代数$\mathscr{M}$上的逼近2-局部导子且满足Δ($\mathscr{M}$_τ)⊆$\mathscr{M}$_τ, 其中$\mathscr{M}$_τ={x∈$\mathscr{M}$:τ(|x|) < ∞}, 则Δ是M上的一个导子.

证明  根据定理1以及引理9, 只需要说明von Neumann代数$\mathscr{M}$是一个2-torsion free半素环即可.实际上, 设a∈$\mathscr{M}$使得2a=0, 显然a=0, 因此$\mathscr{M}$是一个2-torsion free环.此外, 每个von Neumann代数都是半素环.实际上, 设a∈$\mathscr{M}$使得a$\mathscr{M}$a=0, 即对于任意的x∈$\mathscr{M}$有axa=0.不妨取x=a^*, 则aa^*a=0.从而a^*aa^*a=0，进而有a=0.证毕.

显然有以下推论成立:

推论1^[16]   设$\mathscr{M}$是一个有限von Neumann代数, Δ:$\mathscr{M}$→$\mathscr{M}$是一个逼近2-局部导子, 则Δ是一个导子.

证明  实际上,$\mathscr{M}$是一个有限von Neumann代数时, 根据非交换L_p空间的Hold不等式, 即引理3可以直接得到$\mathscr{M}$=$\mathscr{M}$_τ, 其中$\mathscr{M}$_τ={x∈$\mathscr{M}$:τ(|x|) < ∞}.显然Δ($\mathscr{M}$_τ)⊆$\mathscr{M}$_τ, 重复定理2证明过程, 结论显然成立.

推论2^[14]   设$\mathscr{M}$是具有半有限迹τ的von Neumann代数, Δ:$\mathscr{M}$→$\mathscr{M}$是一个2-局部导子, 则Δ是一个导子.

证明  定理2中前提要求Δ($\mathscr{M}$_τ)⊆$\mathscr{M}$_τ, 其中$\mathscr{M}$_τ={x∈$\mathscr{M}$:τ(|x|) < ∞}, 是为了得到引理7的结果.实际上, 此推论是关于半有限von Neumann代数上2-局部导子的研究, 不涉及极限问题.引理7证明过程式(1)中D_n^{x, y}(x)、D_n^{x, y}(y)可以分别换成Δ(x)和Δ(y), 即可直接得到相应于引理7的结果, 同样重复定理2的证明过程得结论成立.

3 结语

通过翻阅文献, 发现只有极少数的作者对逼近映射进行了研究, 例如有作者对有限von Neumann代数上的逼近2-局部导子进行了研究.本文在此基础上, 结合非交换L_p空间的相关知识将该作者的结论推广到了半有限von Neumann代数上.因此, 根据前面的想法可以考虑将逼近映射推广到一些适当的代数上.