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  同济大学学报(自然科学版)  2019, Vol. 47 Issue (9): 1375-1382.  DOI: 10.11908/j.issn.0253-374x.2019.09.020
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引用本文  

董冰, 许威. 含有多种最低利益保证的变额年金定价[J]. 同济大学学报(自然科学版), 2019, 47(9): 1375-1382. DOI: 10.11908/j.issn.0253-374x.2019.09.020.
DONG Bing, XU Wei. Pricing Variable Annuities Embedding Various Guaranteed Minimum Benefits[J]. Journal of Tongji University (Natural Science), 2019, 47(9): 1375-1382. DOI: 10.11908/j.issn.0253-374x.2019.09.020

基金项目

国家自然科学基金面上项目(71771175)

第一作者

董冰(1992—),女,博士生,主要研究方向为金融数学.E-mail:dong_bing@tongji.edu.cn

通信作者

许威(1978—),男,副教授,博士生导师,理学博士,主要研究方向为金融数学.E-mail:wdxu@tongji.edu.cn

文章历史

收稿日期:2019-01-25
含有多种最低利益保证的变额年金定价
董冰 , 许威     
同济大学 数学科学学院, 上海 200092
摘要:我国人口老龄化速度加快, 具有抗通胀、养老和投资功能的变额年金产品引起了人们的关注.对同时含有多种最低利益保证的变额年金定价进行研究.首先在跳扩散模型下, 提出了柳树法定价变额年金的数值方法.同时考虑了返回初值型、Roll-up型和Ratchet型的最低利益保证.本文方法可以很容易推广到其他的随机过程, 并且柳树构建过程和定价过程相互独立, 在不同的风险资产价格过程下定价, 无需额外的工作量, 具有较高的通用性.相比于现有的方法, 降低了计算维度, 减少了计算时间.最后通过数值试验, 与蒙特卡洛法进行对比, 说明了本文方法的准确性、高效性.
关键词变额年金定价    最低利益保证    跳扩散模型    柳树法    
Pricing Variable Annuities Embedding Various Guaranteed Minimum Benefits
DONG Bing , XU Wei     
School of Mathematical Sciences, Tongji University, Shanghai 200092, China
Abstract: With the acceleration of population aging in China, the variable annuities have drawn a lot of attentions due to its anti-inflation, pension and investment functions. This paper studies the valuation of variable annuities embedding various guaranteed minimum benefits. We propose a willow tree method for pricing variable annuities under the jump-diffusion model in three guarantee types, including return of premium, Roll-up and Ratchet types. Our tree structure can be easily extended to other stochastic models. The willow tree construction and pricing procedure are independent of each other. Thus, for different stochastic models, it does not need extra work and has better applicability. Finally, numerical experiments demonstrate the accuracy and high efficiency of the proposed method compared with Monte Carlo method.
Key words: variable annuity valuation    guaranteed minimum benefits    jump-diffusion model    willow tree method    

随着金融市场的不断发展和人口老龄化进程的加快, 养老问题受到社会的日益关注.养老保险制度的三大支柱为社会基本养老保险、企业年金和个人商业养老保险.在我国, 社会养老保险占主导地位.企业年金发展较为缓慢且覆盖率很低.根据《中国社会保险发展年度报告2016》的统计结果, 参加企业年金的职工人数为2 325万, 占参加城镇职工基本养老保险总人数的6.13%, 有7.63万户企业建立了企业年金, 仅占企业法人单位数量的0.35%.正是因为企业年金的发展效率低, 个人商业养老保险市场存在着巨大的发展空间[1], 同时其重要性也愈发明显.但是随着通货膨胀的加剧, 曾经作为商业养老保险主要产品的定额年金已然不足以满足现有的养老保障需求, 投资者更为关注的是购买力的稳定.于是保险公司将目光投向证券市场, 开始提供同证券市场相关联、与投资收益挂钩的变额年金产品.

中国保监会从2010年起逐步推荐变额年金的开发与试点工作, 以丰富寿险产品结构, 促进养老保险产品发展, 满足保险消费者的需求, 提升行业管理水平. 2010年3月, 保监会印发《2010年人身保险监管工作要点》[2]中表示, 要启动变额年金产品研究, 选择适当时机审慎开展变额年金业务试点. 2011年5月, 中国保监会发布了《关于开展变额年金保险试点的通知》和《变额年金保险管理暂行办法》[3], 变额年金产品正式进入我国的保险市场.

变额年金是一种与投资账户关联的保险合约.投保者可以共享投资账户的市场收益, 并且能规避市场下跌的风险.由于具有最低利益保证以及投资资产价值可随资本市场变动调节的功能, 变额年金产品引起了各界人士的广泛关注, 并逐渐成为可以信赖的长期养老规划选择.授权的保险公司也都在积极讨论变额年金的定价和风险控制方法, 因此, 变额年金定价研究有积极的理论与现实意义.

变额年金的定价在国内外吸引了大量的学者研究.常见的最低利益保证包括:最低死亡利益保证(GMDB)、最低提取利益保证(GMWB)、最低累积利益保证(GMAB)和最低收入利益保证(GMIB). Bauer等[4]在几何布朗运动下, 运用了蒙特卡洛法和一种基于高维网格的数值方法对含有GMDB、GMWB、GMAB和GMIB的变额年金进行定价.但是其数值计算维度比较高, 计算比较耗时.在一般随机模型下进行定价, 目前二叉树方法实现起来比较困难.同时由于变额年金产品相对复杂, 合约中多个账户价值路径依赖性较强, 在一般随机模型下微分方程(PDE)的构建也比较困难.所以现有的方法基本都是基于蒙特卡洛法进行计算. Bacinello等[5]运用了蒙特卡洛法对变额年金进行定价, 考虑了GMDB和一种最低生存利益保证(GMLB)合约, 该方法没有将多种利益保证同时包含进来, 并且计算成本也比较高. Kelani和Quittard-Pinon[6]在Lévy过程下, 对变额年金的定价与风险管理方法进行研究, 他们只考虑了GMAB(GMMB)和GMDB条款.赵桂芹等[7]也是只考虑了含有GMAB和GMDB条款的变额年金定价, 难度最大的GMWB条款没有在定价中考虑.近几年, 许多学者对GMWB的定价方法进行研究与改进, 提出了一系列的方法, 如文献[8-15].以上的定价方法中, Bauer等[4]的方法数值计算维度比较高, 计算比较耗时, 并且其风险资产的价格只考虑了几何布朗运动模型.其他现有的定价方法仅考虑了GMDB、GMWB、GMAB和GMIB中的一个或者部分利益保证, 没有将所有的利益保证同时考虑, 并且都是在指定的风险资产价格过程下进行定价, 很难将其推广到其他模型.

本文对包含GMDB、GMWB、GMAB和GMIB多种最低利益保证的变额年金定价.首先对标的风险资产的价格进行采样估计, 采用了柳树法的思想(Curran[16], Xu等[17]), 以Merton跳扩散模型[18]为例, 建立风险资产价格柳树.相比于常见的几何布朗运动模型, 跳扩散模型能够更好地拟合标的资产收益尖峰厚尾的特性.本文的方法可以很容易推广到其他的风险资产价格过程, 可以根据风险资产价格过程的四阶矩来构建柳树, 例如CEV模型[14]和一般的Lévy过程等, 具有较高的通用性.然后在此基础上, 提出一种准确、快速的数值定价方法, 可以对同时含有GMDB、GMWB、GMAB和GMIB条款的变额年金合约定价.相比于Bauer等[4]的方法, 降低了计算的维度.并且风险资产价格柳树的构建过程和定价过程相互独立, 可以很容易实现不同模型的转换.最后, 通过数值实验, 与蒙特卡洛法结果进行对比, 并进行敏感性分析.同时也考虑了返回初值型(return of premium)、Roll-up型和Ratchet型最低利益保证的变额年金的定价.数值结果显示了本文数值方法的有效性, 并且大大缩短了计算时间.

1 变额年金合约介绍

假设合约到期日为T, 初始时刻投保者投资A0到一个风险资产账户.记t时刻投资账户价值为At, 投资账户的价值根据风险资产的收益、投保者提取收益以及保费α决定.

若变额年金合约含有GMDB条款, 如果投保者在t时刻死亡, 合约保证投保者在死亡时刻得到最低死亡利益保证GtD.

若变额年金合约含有GMAB或GMIB条款, 如果投保者在合约到期日T还存活, 合约给予投保者在到期日的最低利益保证. GMAB保证投保者在到期日收到最低累积利益保证GTA. GMIB在合约到期日提供给投保人3种选择:①提取账户余额; ②将账户余额转变成一个固定年金; ③将最低利益保证GTI按照合约初始时刻约定的年金转换因子(annuitization rate)转变成固定年金.

若变额年金合约含有GMWB条款, 合约保证投保者在整个合约的期限内可以提取指定的金额G0W(通常为初始投资A0).无论账户价值是否为零, 投保者可以按照合约规定, 从账户中定期提取一定比例Xw的收益.同时, 投保者提取金额可以大于或者小于合约约定的金额, 但超出部分需要收取一定比例η的罚金.

假设合约期限[0, T]内共有N个提现日{tn, n=1, …, N}, 记为0=t0 < t1 < … < tN=T, tn=nΔt.定义Wt为初始时刻到t时刻累积的提取收益(贴现到t时刻), Dtt时刻的死亡收益, LT为到期收益.在整个合约的期限内, 最低到期收益保证值可能随着时间变化, 故令GtAGtI代表到期日最低累积利益保证和最低收入利益保证在t时刻的值.同样, 令GtW代表最低提取利益保证值, GtE代表每个提现日合约规定的提取金额.用(·)和(·)+分别代表提现之前和之后的瞬间对应的变量的值.记风险资产价格在t时刻的价格为St.后文的推导都是在提现日tn, n=1, …, N进行, 为了简化符号, 在后文中用下标n代替tn, 即SnStn.

给定提取策略ξ={ξn}, n=1, …, N, 若投保者在tn时刻死亡(把在(tn-1, tn]时间内死亡均看作在tn时死亡), 投保者会得到一定的死亡收益和提取收益, 将其贴现到T时刻分别为DT(tn; ξ)和WT(tn; ξ).若投保者在合约到期日T时刻还存活, 则会收到到期收益LT(T+1, ξ)和提取收益WT(T+1, ξ).因此, 含有以上所有利益保证的变额年金合约的初始价值V0[4]:

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{V_0}(\xi ) = \sum\limits_{n = 1}^N {{{\tilde P}_{{x_0},{t_{n - 1}}}} \cdot {{\tilde Q}_{{x_0} + {t_{n - 1}},\varDelta t}} \cdot } }\\ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{E}}_Q}\left[ {{{\rm{e}}^{ - rT}}\left( {{W_T}\left( {{t_n};\xi } \right) + {D_T}\left( {{t_n};\xi } \right)} \right)} \right] + \\ {{\tilde P}_{{x_0},T}}{\mathit{\boldsymbol{E}}_Q}\left[ {{{\rm{e}}^{ - rT}}\left( {{L_T}(T + 1;\xi ) + {W_T}(T + 1;\xi )} \right)} \right] \end{array} \end{array} $ (1)

式中: ${{{\tilde{P}}}_{{{x}_{0}}, t}}$是年龄为x0的投保者在未来t年的生存概率; ${{{\tilde{Q}}}_{{{x}_{0}}+{{t}_{n-1}}, \varDelta t}}$是年龄为x0的投保者在tn-1时刻存活的条件下在(tn-1, tn-1+Δt]时间内的死亡概率.

由于含有GMWB、GMDB、GMAB和GMIB的变额年金合约条款比较复杂, 账户价值、利益保证值和合约价值具有较强的路径依赖性, 定价公式(1)中的各个变量以及期望值的求解难度比较大, 通常只能运用蒙特卡洛法[4].

2 柳树法定价变额年金

首先在跳扩散模型下建立风险资产价格柳树, 然后对账户价值和利益保证值进行推导和估计, 在此基础上提出变额年金的定价方法.

2.1 风险资产价格柳树的构建

柳树法由Curran[16]提出, Xu等[17]对其进行了改进.柳树法是用每个时刻上离散值表示资产价格的分布, 用转移概率刻画分布随时间的变化. 图 1为一个含有4个时刻和5个空间节点的柳树结构示意图.对于一般的柳树结构, 每个时刻的空间节点数相同, 可以是任意常数, 空间节点数一般取30至50.

图 1 含有4个时刻和5个空间节点的柳树示意 Fig.1 Graphical depiction of the willow tree lattice with 4 time nodes and 5 space nodes

假设风险资产价格服从Merton跳扩散过程

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\rm{d}}S(t)}}{{S(t)}} = (r - \lambda \bar k){\rm{d}}t + \sigma {\rm{d}}B(t) + }\\ {\left[ {Y(t) - 1} \right]{\rm{d}}N(t)} \end{array} $ (2)

式中:r是无风险利率;B(t)是标准的Q布朗运动;ln Y(t)服从均值为αJ方差为σJ2的正态分布;Y(t)-1的期望为k=E[Y(t)-1];N(t)是强度为λ的泊松过程.

构造柳树结构包括两部分:资产价格的估计和转移概率的计算. Xu和Yin[19]提出了跳扩散模型下柳树的构建方法, 姚怡等[20]在此基础上对转移概率做了进一步修正.本文在Xu和Yin[19]和姚怡等[20]构建的柳树的基础上进行定价.

2.1.1 资产价格估计

在Merton跳扩散模型下, 在每个提现日tn, 假设有m个资产价格Sni, i=1, 2, …, m.考虑对数收益Xt=ln(St/S0), 根据Ballotta和Kyriakou[21]的推导, 可以得到Xt的期望μ、方差υ、偏度κ3和峰度κ4分别为

$ \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {\mu = \left( {r - {\sigma ^2}/2 - \lambda \bar k + \lambda {\alpha _J}} \right)t}\\ {v = \left( {{\sigma ^2} + \lambda \alpha _J^2 + \lambda \sigma _J^2} \right)t} \end{array}\\ {\kappa _3} = \frac{1}{{\sqrt t }}\left( {\frac{{\lambda \left( {\alpha _J^3 + 3{\alpha _J}\sigma _J^2} \right)}}{{{{\left( {{\sigma ^2} + \lambda \alpha _J^2 + \lambda \sigma _J^2} \right)}^{3/2}}}}} \right)\\ {\kappa _4} = 3 + \frac{1}{t}\left( {\frac{{\lambda \left( {\alpha _J^4 + 6\alpha _J^2\sigma _J^2 + 3\sigma _J^4} \right)}}{{{{\left( {{\sigma ^2} + \lambda \alpha _J^2 + \lambda \sigma _J^2} \right)}^2}}}} \right) \end{array} \right. $

给定Xt的四阶矩, 可利用Johnson曲线[22]转换公式的逆变换, 将一个标准正态分布的随机变量z的估计转换成给定分布Xt的估计.根据Xtn的四阶矩, 可以得到Xni, i=1, …, m的估计为

$ X_n^i = \varepsilon {g^{ - 1}}\left( {\frac{{{z_i} - \gamma }}{\delta }} \right) + \nu $

其中, γδνεg-1(·)可以由Hill提出的算法[23]根据随机变量Xtn的四阶矩得到, zi是离散的正态分布的代表值(见Xu等[17]).从而得到柳树上每一点的风险资产价格为Sni=S0eXni.

2.1.2 转移概率计算

从ln Sniln Sn+1j的转移概率为(见Xu和Yin[19])

$ \begin{array}{*{20}{c}} {p_{ij}^n = P\left( {A < X_{n + 1}^j < B|X_n^i} \right) = }\\ {\int_A^B {\sum\limits_{l = 0}^\infty {\frac{{{{\rm{e}}^{ - \lambda \varDelta t}}{{(\lambda \varDelta t)}^l}}}{{l!}}} } \frac{1}{{\sqrt {2{\rm{ \mathsf{ π} }}} {\sigma _l}}}\exp \left( { - \frac{{{{\left( {x - {\mu _l}} \right)}^2}}}{{2\sigma _l^2}}} \right){\rm{d}}x} \end{array} $

其中A=(Xn+1j-1+Xn+1j)/2, B=(Xn+1j+1+Xn+1j)/2, μl=Xin $\left( r-\lambda \bar{k}-\frac{{{\sigma }^{2}}}{2} \right)$Δt+lαJσl2=σ2Δt+lσJ2.

记从tn时刻到tn+1时刻的转移概率矩阵为[pijn]m×m, 从t0时刻到t1时刻的转移概率记为q1=[q11, q12, …, q1m], 其中q1i为从ln S0到ln S1i的转移概率.

2.2 变额年金的定价方法

变额年金合约中各个变量的演变过程比较复杂, 具有很强的路径依赖性.变额年金的价值依赖于账户价值和多种利益保证值, 其定价问题是一个高维的问题.下面在柳树法框架下对账户价值进行估计, 然后在此基础上将多种利益保证值进行推导, 可以将此高维问题进行降维处理, 然后基于公式(1)对变额年金定价.

首先介绍变额年金中的账户价值变化.从tn-1tn时刻, 若风险资产价格从Sn-1变为Sn, 给定保费α以及提取策略ξ={ξn}, 投资账户An的价值变化如下:

$ A_n^ - = A_{n - 1}^ + \frac{{{S_n}}}{{{S_{n - 1}}}}{{\rm{e}}^{ - \alpha \varDelta t}} $
$ A_n^ + = \max \left\{ {A_n^ - - {\xi _n},0} \right\} $

对于任意一条资产价格的路径从S0Sn(n>0), 若将平均收益$y\equiv \sqrt[n]{{{S}_{n}}/{{S}_{0}}}\text{=}\sqrt[n]{{{S}_{n}}}$视为相邻2个提现日的收益(假设S0=1).给定提款策略ξ={ξn}, 投资账户价值可以根据如下定理计算.

定理1   给定提款策略ξ={ξn}、保费α和初始投资A0, 当风险资产价格从S0变到Sn, 2个相邻提现日的平均收益为$y\equiv \sqrt[n]{{{S}_{n}}/{{S}_{0}}}\text{=}\sqrt[n]{{{S}_{n}}}$, 在tn时刻投资账户价值为

$ A_n^ - = \max \left\{ {{A_0}{S_n}{{\rm{e}}^{ - n\varDelta t}} - {A_0}\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{\xi _k}} {{\left( {y{{\rm{e}}^{ - \alpha \varDelta t}}} \right)}^{n - k}},0} \right\} $
$ \begin{array}{l} A_n^ + = \max \left\{ {A_n^ - - {\xi _n},0} \right\} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\max \left\{ {{A_0}{S_n}{{\rm{e}}^{ - n\alpha \varDelta t}} - {A_0}\sum\limits_{k = 1}^n {{\xi _k}{{\left( {y{{\rm{e}}^{ - \alpha \varDelta t}}} \right)}^{n - k}}} ,0} \right\} \end{array} $

证明  下面运用数学归纳法证明.

t=t1, 平均收益yS1, A1=A0yeαΔt, A1+=max{A1ξ1, 0}=max{A0yeαΔtξ1, 0}.

假设当t=tn-1时, 有

$ A_{n - 1}^ - = \max \left\{ {{A_0}{S_{n - 1}}{{\rm{e}}^{ - (n - 1)\alpha \varDelta t}} - {A_0}\sum\limits_{k = 1}^{n - 2} {{\xi _k}} {{\left( {y{{\rm{e}}^{ - \alpha \varDelta t}}} \right)}^{n - k - 1}},0} \right\} $
$ \begin{array}{l} A_{n - 1}^ + = \max \left\{ {A_{n - 1}^ - - {\xi _{n - 1}},0} \right\} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\max \left\{ {{A_0}{S_n}{{\rm{e}}^{ - n\alpha \varDelta t}} - {A_0}\sum\limits_{k = 1}^n {{\xi _k}} {{\left( {y{{\rm{e}}^{ - \alpha \varDelta t}}} \right)}^{n - k}},0} \right\} \end{array} $

成立, 则当t=tn时, 平均收益为$y\equiv \sqrt[n]{{{S}_{n}}}$, 有

$ A_n^ - = \max \left\{ {{A_0}{S_n}{{\rm{e}}^{ - n\alpha \varDelta t}} - {A_0}\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{\xi _k}} {{\left( {y{{\rm{e}}^{ - \alpha \varDelta t}}} \right)}^{n - k}},0} \right\} $
$ \begin{array}{l} A_n^ + = \max \left\{ {A_n^ - - {\xi _n},0} \right\} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\max \left\{ {{A_0}{S_n}{{\rm{e}}^{ - n\alpha \varDelta t}} - {A_0}\sum\limits_{k = 1}^n {{\xi _k}} {{\left( {y{{\rm{e}}^{ - \alpha \varDelta t}}} \right)}^{n - k}},0} \right\} \end{array} $

根据定理1, 对于任意一条资产价格的路径从S0Sni(n>0), 若将平均收益$y\equiv \sqrt[n]{S_{n}^{i}/{{S}_{0}}}\text{=}\sqrt[n]{S_{n}^{i}}$视为相邻2个提现日的收益.投资账户价值AniS0Sni(n>0)可以估计为

$ A_n^{i - } = \max \left\{ {{A_0}S_n^i{{\rm{e}}^{ - n\alpha \varDelta t}} - {A_0}\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{\xi _k}} {{\left( {y{{\rm{e}}^{ - \alpha \varDelta t}}} \right)}^{n - k}},0} \right\} $ (3)
$ \begin{array}{l} A_n^{i + } = \max \left\{ {A_n^{i - } - {\xi _n},0} \right\} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\max \left\{ {{A_0}S_n^i{{\rm{e}}^{ - n\alpha \varDelta t}} - {A_0}\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{\xi _k}} {{\left( {y{{\rm{e}}^{ - \alpha \varDelta t}}} \right)}^{n - k}},0} \right\} \end{array} $ (4)

因此, 给定提取策略ξ={ξn}, 对于任意一个风险资产价格Sni, 可以得到投资账户价值AniAni+.

若给定提取策略ξ={ξn}、风险资产价格{Sni}以及投资账户价值{Ani}, 对于含有GMDB、GMWB、GMAB和GMIB的变额年金合约, 定价公式(1)中的各个到期收益随时间变化的计算方法如下.

(1) 在初始时刻t=0, 死亡收益和累积提取收益为零, 即D0+=0, W0+=0.如果合约含有相应的最低利益保证, 则G0D/W/A/I+=A0, G0E+=XwG0W.反之, 对应的最低利益保证为零.

(2) 如果投保者在(tn-1, tn](1≤nN)内死亡, 需要计算DT(tn; ξ)和WT(tn; ξ)的值.在tn时刻, 投资账户价值Ani可以根据式(3)、(4)计算.如果投保者在(tn-1, tn]内死亡, 当风险资产价格为Sni时, 会得到收益为maxGn, iD, Ani.所以, 对应的死亡收益DTi(tn; ξ)为

$ D_T^i\left( {{t_n};\xi } \right) = {{\rm{e}}^{r(N - n)\varDelta t}}\max \left\{ {G_{n,i}^{D - },A_n^{i - }} \right\},i = 1,2, \cdots ,m $

其中, Gn, iD为对应的最低死亡利益保证, 其计算方法会在后文进行介绍.提取收益累积按照无风险利率累积到T时刻的价值WT(tn; ξ)为

$ {W_T}\left( {{t_n};\xi } \right) = W_{n - 1}^ + {e^{r(N - n + 1)\varDelta t}} $

其中, Wn-1+tn-1+时刻的累积提取收益.

(3) 若投保者在(tn-1, tn]时间内存活, tn时刻投保者从账户中提取ξn, 累积提取收益Wn

$ W_n^ - = W_{n - 1}^ + {{\rm{e}}^{r\varDelta t}} $
$ W_n^ + = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {W_n^ - + {\xi _n},}&{{\xi _n} \le {E_n}}\\ {W_n^ - + {E_n} + (1 - \eta )\left( {{\xi _n} - {E_n}} \right),}&{{\xi _n} > {E_n}} \end{array}} \right. $

其中, En是合约约定每次提取的金额, 即En=min{GnW, GnE}.

(4) 在合约到期日T, 如果投保者仍然存活, 累积提取收益为

$ {W_T}(T + 1;\xi ) = W_N^ + $

此时, GMAB和GMIB生效, 当风险资产价格为SNi时, 对应的到期收益LTi(T+1;ξ)为

$ L_T^i(T + 1;\xi ) = L_T^{A + }\;或\;L_T^{I + },\quad i = 1,2, \cdots ,m $

其中LTA+=max{ANi+, GN, iA+}, LTI+=max{ANi+, GN, iI+· $\tilde{g}\cdot {{{\tilde{a}}}_{T}}$}, ${{{\tilde{a}}}_{T}}$为一个每年支付一元到期日为T的固定年金的市场价格, ${{\tilde{g}}}$为变额年金初始时刻指定的年金转换因子.如果变额年金合约既不含有GMAB也不含有GMIB, 则LT(T+1;ξ)=0.

下面介绍最低利益保证Gn, iD/A/IGnW/E的计算方法.如果GMDB/GMAB/GMIB是返回初值型(return of premium), 在tn时刻, 最低利益保证变化为GnD/A/I-=Gn-1D/A/I+GnD/A/I+=GnD/A/I-· $\frac{A_{n}^{+}}{A_{n}^{-}}$.

定理2   当风险资产价格从t0时刻S0变到tn时刻Sn, 在tn时刻, 给定保费αtn时刻投资账户价值AnAn+, 返回初值型最低死亡利益保证GnD

$ G_n^{{\rm{D}} - } = G_{n - 1}^{{\rm{D}} + } = \frac{{A_n^ - }}{{{{\rm{e}}^{ - n\alpha \varDelta t}}{S_n}}} $
$ G_n^{{\rm{D}} + } = G_n^{{\rm{D}} - }\frac{{A_n^ + }}{{A_n^ - }} = \frac{{A_n^ + }}{{{{\rm{e}}^{ - n\alpha \varDelta t}}{S_n}}} $

证明  下面运用数学归纳法进行证明.假设风险资产价格路径为S0, S1, S2, …, Sn.

t0时刻, G0D+=A0.

tn-1时刻, 若$G_{n-1}^{\text{D}-}=\frac{A_{n-1}^{-}}{{{\text{e}}^{-\left( n-1 \right)\alpha \varDelta t}}{{S}_{n-1}}}$成立, 则在tn时刻, 有

$ G_n^{{\rm{D}} - } = G_{n - 1}^{{\rm{D}} + } = \frac{{A_{n - 1}^ + }}{{{{\rm{e}}^{ - (n - 1)\alpha \varDelta t}}{S_{n - 1}}}} = \frac{{A_n^ - \frac{{{S_{n - 1}}}}{{{S_n}}}{{\rm{e}}^{\alpha \varDelta t}}}}{{{{\rm{e}}^{ - (n - 1)\alpha \varDelta t}}{S_{n - 1}}}} = \frac{{A_n^ - }}{{{{\rm{e}}^{ - n\alpha \varDelta t}}{S_n}}} $
$ G_n^{{\rm{D}} + } = G_n^{{\rm{D}} - }\frac{{A_n^ + }}{{A_n^ - }} = \frac{{A_n^ + }}{{{{\rm{e}}^{ - n\alpha \varDelta t}}{S_n}}}. $

根据定理2, 对于任意的风险资产价格路径从S0Sni, 可以得到最低死亡利益保证GnD为:Gn, iD-= $\frac{A_{n}^{i-}}{{{\text{e}}^{-n\alpha \varDelta t}}S_{n}^{i}}, G_{n, i}^{\text{D}+}=\frac{A_{n}^{i+}}{{{\text{e}}^{-n\alpha \varDelta t}}S_{n}^{i}}$, 从而Gn, iD/A/I的表达式为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {G_{n,i}^{{\rm{D}}/{\rm{A}}/{\rm{I}} - } = \frac{{A_n^{i - }}}{{{{\rm{e}}^{ - n\alpha \varDelta t}}S_n^i}}}\\ {G_{n,i}^{{\rm{D}}/{\rm{A}}/{\rm{I}} + } = \frac{{A_n^{i + }}}{{{{\rm{e}}^{ - n\alpha \varDelta t}}S_n^i}}} \end{array}} \right. $ (5)

如果GMDB/GMAB/GMIB是Roll-up型, 在第一次提现之前, 最低利益保证变化为GnD/A/I-=Gn-1D/A/I+(1+ir), GnD/A/I+=GnD/A/I-· $\frac{A_{n}^{+}}{A_{n}^{-}}$, 其中, ir是每年的roll-up比率.类似可得Gn, iD/A/I的表达式为

$ G_{n,i}^{{\rm{D}}/{\rm{A}}/{\rm{I}} - } = \frac{{A_n^{i - }{{\left( {1 + {i_r}} \right)}^{\tilde n}}}}{{{{\rm{e}}^{ - n\alpha \varDelta t}}S_n^i}},\;\;\;\;G_{n,i}^{{\rm{D}}/{\rm{A}}/{\rm{I + }}} = \frac{{A_n^{i + }{{\left( {1 + {i_r}} \right)}^{\tilde n}}}}{{{{\rm{e}}^{ - n\alpha \varDelta t}}S_n^i}}. $

其中

$ \tilde n = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {n,\;\;\;\;\;\;\;\;如果\;{t_n}\;前没有取款}\\ {{n_1} - 1,\;\;\;如果\;{t_{{n_1}}}\;时刻第1次取款} \end{array}} \right. $

对于Ratchet型GMDB/GMAB/GMIB合约, 在tn时刻, GMDB、GMAB和GMIB最低利益保证更新为

GnD/A/I-=Gn-1D/A/I+, GnD/A/I+= max{ GnD/A/I+·$\frac{A_{n}^{+}}{A_{n}^{-}}, A_{n}^{+} $}.

下面以Ratchet型GMDB为例, 介绍GnD的变化.

n=1时, 有

$ G_{1,i}^{{\rm{D}} - } = G_0^{{\rm{D}} + } = {A_0} $

n>1时, 最低死亡利益保证估计为

$ G_{n,i}^{{\rm{D}} - } = \sum\limits_{j = 1}^m {p_{ji}^{n - 1}} G_{n - 1,j}^{{\rm{D}} + } $

其中pjin-1是样本点Sn-1jSni的转移概率, 即条件概率P(ln Sni|ln Sn-1j).

对于任意的n≥1, 有

$ G_{n,i}^{{\rm{D}} + } = \max \left\{ {G_{n,i}^{{\rm{D}} - } \cdot \frac{{A_n^{i + }}}{{A_n^{i - }}},A_n^{i - }} \right\} $

同理, 可以用同样的方法估计Gn, iA/I的值.

如果合约含有GMWB条款, 在tn时刻, 其最低提取利益保证GnW/E

$ G_n^{{\rm{W}}/{\rm{E}} - } = G_{n - 1}^{{\rm{W}}/{\rm{E}} + } $
$ G_n^{{\rm{W}} + } = G_n^{{\rm{W}} - } - {\xi _n},\;\;\;\;G_n^{E + } = G_n^{E - } \cdot \frac{{G_n^{{\rm{W}} + }}}{{G_n^{{\rm{W}} - }}} $

基于以上风险资产价格柳树的构建以及变额年金定价公式中各个变量的计算, 若给定提取策略ξ={ξn}和保费α, 式(1)中变额年金合约的初始价值可表示为

$ \begin{array}{l} {V_0} = \sum\limits_{n = 1}^N {{{\tilde P}_{{x_0},{t_{n - 1}}}}} \cdot \\ \;\;\;\;\;{{\tilde Q}_{{x_0} + {t_{n - 1}},\varDelta t}}\sum\limits_{i = 1}^m {q_n^i} {{\rm{e}}^{ - rT}}\left[ {{W_T}\left( {{t_n}} \right) + D_T^i\left( {{t_n}} \right)} \right] + \\ \;\;\;\;\;{{\tilde P}_{{x_0},T}}\sum\limits_{i = 1}^m {q_N^i} {{\rm{e}}^{ - rT}}\left[ {L_T^i(T + 1) + {W_T}(T + 1)} \right] \end{array} $ (6)

其中, qnitn时刻柳树上每个节点ln Sni出现的概率.在t1时刻, q1i为从ln S0到ln S1i的转移概率, 记q1=[q11, q12, …, q1m].在tn时刻, qni为柳树上每个节点ln Sni出现的概率, 可以根据转移概率求得, 表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{q}}_n} = \left[ {q_n^1,q_n^2, \cdots ,q_n^m} \right] = {\mathit{\boldsymbol{q}}_{n - 1}} \cdot \left[ {p_{ij}^{n - 1}} \right] $

柳树法可以对定价公式(1)中的期望通过定价公式(6)中求和方式进行简单的估计.可以看出, 柳树法可以很容易解决合约中较强的路径依赖性问题, 简化了账户价值以及多种利益保证值的计算, 从而降低了计算维度, 节省了计算时间.

若要对保费进行定价, 由于V0随着保费α单调递减, 故可以运用一般的零点求解方法(例如:二分法), 令V0=A0, 求解保费α.

3 数值结果

在跳扩散模型下, 对变额年金进行定价, 将提出的数值方法与蒙特卡洛法进行对比.假设投保者为40岁男性(生存概率和死亡率采用1994 Group Annuitant Mortality (GAM)和1994 Mortality Improvement Projection Scale[24]), 投资账户的初始价值为A0=100, 风险资产初始价格S0=1.考虑含有GMDB、GMWB和GMAB的变额年金合约(GMIB的定价与GMAB类似, 这里以GMAB为例).除非特别说明, 投保者的提取策略为每年从账户中提取合约约定的金额, 即{ξn=En}, 最低利益保证为返回初值型, 参数选取为T=20, r=3.25%, α=100×10-4, σ=0.111 4, αJ=-0.182 5, σJ=0.109 4, λ=0.528 2.跳扩散模型参数参考Bacinello等[12]中运用S&P 500期权价格校正的参数.数值结果中, WT为柳树法的结果, WT30代表柳树法资产价格节点个数m=30时对应的结果, WT50代表柳树法m=50时对应的结果, MC为蒙特卡洛法的结果, 以MC_99_下界、MC_99_上界代表蒙特卡洛法的99%置信区间的上界和下界, 蒙特卡洛模拟104次.本文只将柳树法与蒙特卡洛法定价结果进行对比, 因为其他数值方法(如二叉树方法和PDE方法等)在一般模型下对含有多种最低利益保证的变额年金定价实现起来比较困难.所有数值实验在操作系统为Windows 10的计算机上运行, 内存8GB, 处理器为Intel(R) Core(TM) i7-5600U CPU@2.60GHz, 软件版本为MATLAB R2017b.

实验比较了不同的参数对变额年金初始价值的影响, 包括:保费α、利率r、跳扩散模型参数λσ.同时也比较了返回初值型、Roll-up型和Ratchet型利益保证的定价结果.

首先, 考虑保费α对合约初始价值的影响. 图 2为跳扩散模型下, 合约初始价值V0随保费α的变化趋势.随着保费α的增大, 变额年金合约的初始价值变小.可以看出柳树法结果落在蒙特卡洛法的99%置信区间内, 由此说明了柳树法的准确性.

图 2 合约价值随保费的变化 Fig.2 Computed variable annuity values with various insurance fee

接下来, 讨论利率对变额年金初始价值的影响. 图 3为合约初始价值V0随利率r的变化结果.可以看出, 随着利率的增大, 合约价值在变小.柳树法计算的结果落在蒙特卡洛法的99%置信区间内.由于变额年金的合约期限较长, 故利率对合约价值的影响比较明显.因此, 利率的影响是保险公司定价变额年金产品时需要慎重考虑的因素.

图 3 合约价值随利率的变化 Fig.3 Computed variable annuity values with various interest rate

然后, 考虑跳扩散模型中跳的强度与波动对合约价值的影响. 图 4图 5分别为合约初始价值V0λσ的变化结果.随着λσ的增大, 合约价值变大.由于跳的强度或者波动变大, 投资者可能得到更高的投资收益, 而且变额年金能规避市场下跌的风险, 故合约的价值变大.同时, 蒙特卡洛法定价的置信区间随着λσ的增大明显变宽, 即合约价值的不确定性变大.此时, 对于保险公司而言, 需要采取合适的风险管理措施来规避风险.可以考虑在投保者进行风险资产组合选取时, 控制风险资产的比例, 提供一些波动率相对较小的产品供投保者选择.

图 4 合约价值随跳跃强度的变化 Fig.4 Computed variable annuity values with various intensity λ
图 5 合约价值随模型参数σ的变化 Fig.5 Computed variable annuity values with various σ

除了以上返回初值型的变额年金, Roll-up型和Ratchet型变额年金也是2种较为常见的合约. 图 6图 7分别为Roll-up型和Ratchet型变额年金初始价值随保费变化的趋势.假设Roll-up比率为2%.从图中可以看出, 柳树法定价结果基本都落在蒙特卡洛法的99%置信区间内.也说明了本文方法对于Roll-up和Ratchet型变额年金定价的准确性.

图 6 Roll-up型合约价值随保费的变化 Fig.6 Computed variable annuity values with the roll-up type with respect to insurance fee
图 7 Ratchet型合约价值随保费的变化 Fig.7 Computed variable annuity values with the ratchet type with respect to insurance fee

根据不同的参数对变额年金初始价值的敏感性分析可知, 利率、风险资产价格的跳跃与波动, 都对合约的初始价值有比较大的影响.由于变额年金合约期限比较长, 利率风险是保险公司定价和控制风险时需要考虑的因素.随着跳的强度和波动率的增大, 合约价值的不确定性更大, 此时, 保险公司需要采取合适的风险管理措施来规避损失.

最后, 比较定价所需的计算时间. 表 1为柳树法和蒙特卡洛法计算一次V0所需的计算时间, 可以看出, 柳树法的计算时间远远小于蒙特卡洛法的计算时间.柳树法与蒙特卡洛法相比, 有相当的计算精度, 但是节约了计算时间.

下载CSV 表 1 蒙特卡洛法和柳树法计算时间对比 Tab.1 Computational time by the WT and MC methods
4 结语

主要介绍了同时含有GMDB、GMWB、GMAB和GMIB多种利益保证的变额年金定价.在跳扩散模型下, 建立资产价格柳树, 提出了一种简单有效并且节约计算成本的数值计算方法.本文方法柳树构建过程和定价过程相互独立, 可以很容易推广到其他的一般过程, 例如CEV模型和一般的Lévy过程等.数值实验在跳扩散模型进行, 对不同参数下变额年金的初始价格进行计算, 并进行敏感性分析.考虑了3种不同类型的利益保证:返回初值型、Roll-up型和Ratchet型的最低利益保证.与蒙特卡洛法进行对比, 数值结果体现了本文方法的准确性以及计算效率较高.根据敏感性分析可知, 利率对合约价值影响比较大.由于合约期限较长, 保险公司定价时需要考虑利率风险.同时风险资产价格的波动对合约价值影响也较大, 保险公司需要采取合适的风险管理措施来规避损失.

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