随着我国轨道交通的迅速发展，轨道车辆的运行速度、载重以及发车频次大幅提升，致使轨道车辆振动问题日益凸显，轴箱及转向架上因振动导致的结构裂纹、断裂和部件脱落现象日趋严重，危及行车安全.为了设计和考核装备在振动环境中的安全性及可靠性，必须依据实测数据、振动环境和规范标准制定振动环境归纳谱.我国在航空机载设备振动环境谱归纳方面较早地开展了研究^[1-2]，同时也制定了振动、冲击环境数据归纳方法的军用标准^[3]，运用正态假设下的数理统计原理来归纳特征样本，并以此计算实测谱和规范谱.研究发现，振动环境数据归纳方法在轨道交通领域的运用很少.

轨道交通装备需要经过标准^[4]检验后方可装车，而国内轨道交通装备在载重、运行速度和振动环境等方面的检验标准各自迥异，装备开发者希望掌握国内实际车辆运行环境振动谱，并与振动试验标准比较，以提高轨道交通装备的设计准确性和运行可靠性.丁杰等^[5]采用军用标准GJB/Z126-99对实测数据进行归纳，获得实测1类A级功率谱曲线，并据此对车载设备进行疲劳分析.然而，在实际运用中轨道车辆装备振动数据存在大量的非正态样本，正态假设导致归纳谱误差的产生.Slifker等^[6]提出了Johnson法则，利用正态拟合函数方法对非正态数据进行转换.罗敏等^[7]利用Johnson法则对非正态振动数据进行转换，解决了飞行器的非正态振动数据问题.

本研究利用Johnson法则对军用标准归纳方法进行改进，处理非正态振动数据，并运用于实测数据中；计算某线路车辆不同振动部位和方向的振动加速度归纳谱，与国际标准^[4]IEC 61373-2010进行对比，分析改进前后的差异.

1 归纳方法原理 1.1 非正态处理

Slifker等^[6]提出，使用一簇分布可将数据正态化，如下所示:

$ \widetilde{x}=\gamma+\eta k_{a}(x ; \lambda, \varepsilon) $

(1)

其中，

$ k_{a}(x ; \lambda, \varepsilon)=\left\{\begin{array}{ll}{\sinh ^{-1}\left(\frac{x-\varepsilon}{\lambda}\right), } & {a=1} \\ {\ln \left(\frac{x-\varepsilon}{\lambda+\varepsilon-x}\right), } & {a=2} \\ {\ln \left(\frac{x-\varepsilon}{\lambda}\right), } & {a=3}\end{array}\right. $

(2)

式中：x为原样本数个体，其转换结果为$ \widetilde{x}$；γ和η分别为转换的中心点和伸缩比例系数；λ和ε分别为原样本的中心点和伸缩比例系数.

对于给定的z，计算标准正态分位点(-3z, -z, z, 3z)的分位数，并以此确定原样本的四个分位点(x₁, x₂, x₃, x₄).通常z的取值^[8]在0.25到1.25范围内.令o=x₄-x₃，n=x₂-x₁，r=x₃-x₂.根据on/r²的大小选择方程k_a的形式，即：当on/r²=1时，a=1；当on/r²>1时，a=2；当on/r² < 1时，a=3.选定方程后，根据估计法则^[6]对其中的参数γ、η、λ和ε进行估计.

选取转换后数据集的规定水平下的分位点，实现对原始数据样本的上限系数的估计.

1.2 时域处理

时域数据可分成不同样本和不同通道，各自形成独立的样本，因此对样本进行正态检验^[9]是很有必要的.振动过程中，外界环境的突然变化带来误差较大的数据，如果这些数据不排除，就会降低结果的精度，甚至得出错误的结论^[10].

处理过程中，由于采样频率高且样本容量大，因此采用Jarque-Bera检验法对样本数据进行正态检验.对于数据集中的每个样本，若满足正态分布，则认为不存在偏差数据；若不满足正态分布，在将数据正态化后，通过下式估计上限：

$ x_{1}=\bar{x}+Q_s $

(3)

式中：x_l、x和s分别为样本的估计上限、样本均值和样本标准差；Q为原样本在正态转换后规定水平下的分位数.去除超限的数据点，并重置为该分布下的随机数.

1.3 频域处理 1.3.1 特征样本

计算所有样本的功率谱数据，记为G_k(i, j)(i=1, 2, 3, …, L₁; j=1, 2, 3, …, M₁; k=1, 2, 3, …, N₁).其中，L₁表示通道数，M₁表示样本数，N₁表示谱线数.G_k(i, j)的均方根值为α_RMS(i, j)，并按下式对均值X_i和方差S_i²进行参数估计：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{X_i} = \frac{1}{{{M_1}}}\sum\limits_{j = 1}^{{M_1}} {{\alpha _{{\rm{RMS}}}}} (i, j)}\\ {S_i^2 = \frac{1}{{{M_1} - 1}}\sum\limits_{j = 1}^{{M_1}} {{{\left( {{\alpha _{{\rm{RMS}}}}(i, j) - {X_i}} \right)}^2}} } \end{array}} \right. $

(4)

选取第i个和第m个数据通道，根据均值和方差计算统计量F(i, m)和t(i, m)，如下所示：

$ \left\{\begin{array}{l}{F(i, m)=\frac{S_{i}^{2}}{S_{m}^{2}}, \quad i \neq m} \\ {t(i, m)=\frac{X_{i}-X_{m}}{\sqrt{\left(S_{i}^{2}+S_{m}^{2}\right) / M_{1}}}, \quad i \neq m}\end{array}\right. $

(5)

假设数据通道i和m的功率谱属于同一总体，则F(i, m)服从自由度为(M₁-1, M₁-1)的F分布，t(i, m)服从自由度为2(M₁-1)的中心t分布.

在给定置信度(1-α)下，若

$ \left\{\begin{array}{l}{F_{\left(M_{1}-1, M_{1}-1\right) ; \alpha / 2} \leqslant F(i, m) \leqslant F_{\left(M_{1}-1, M_{1}-1\right) ;(1-\alpha / 2)}} \\ {|t(i, m)| \leqslant t_{2\left(M_{1}-1\right) ;(1-\alpha / 2)}}\end{array}\right. $

(6)

成立，则假设成立，即数据通道i和m的功率谱属于同一总体；反之，则不属于同一总体.

归并属于同一通道的数据，形成特征样本$\widetilde{G}_{k} $(p, q)(p=1, 2, …, P₁; q=1, 2, …, Q_p; k=1, 2, …, N₁).其中，P₁表示特征样本数，Q_p表示特征样本容量.

1.3.2 实测谱

令

$ x_{k}(p, q)=\sqrt{\widetilde{G}_{k}(p, q)} $

(7)

并对样本x_k(p, q)进行均值X_k(p)和方差S_k²(p)的参数估计，如下所示：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{X_k}(p) = \frac{1}{{{Q_p}}}\sum\limits_{q = 1}^{{Q_p}} {{x_k}} (p, q)}\\ {S_k^2(p) = \frac{1}{{{Q_p} - 1}}\sum\limits_{q = 1}^{{Q_p}} {{{\left( {{x_k}(p, q) - {X_k}(p)} \right)}^2}} } \end{array}} \right. $

(8)

计算置信度为(1-α)、分位点为β的容差上限系数F₁₁，如下所示：

$ {F_{11}} = \frac{{{t_{\left( {{Q_p} - 1} \right);(1 - \alpha )}}}}{{\sqrt {{Q_p}} }} + {Z_\beta }\sqrt {\frac{{{Q_p} - 1}}{{\chi _{\left( {{Q_q} - 1} \right);\alpha }^2}}} $

(9)

式中：Z_β为满足P(Z≤Z_β) =β的正态分布分位点；χ_(Qp-1)²为自由度是(Q_p-1)的χ²分布α分位点.

对第p个样本进行容差上限估计，如下所示：

$ G_{k}(p)=\left(X_{k}(p)+F_{11} S_{k}(p)\right)^{2} $

(10)

从而得到每个特征样本的随机振动实测谱G_k(p).

1.3.3 规范谱

按特征样本频段分布情况进行划分，对样本x_k(p, q)相邻谱线进行假设检验，如下所示：

$ \left\{\begin{array}{l}{F(k, k+1)=\frac{S_{k}^{2}(p)}{S_{k+1}^{2}(p)}} \\ {t(k, k+1)=\frac{X_{k}(p)-X_{k+1}(p)}{\sqrt{\left(S_{k}^{2}(p)+S_{k+1}^{2}(p)\right) / Q_{p}}}}\end{array}\right. $

(11)

假设相邻谱线k和(k+1)的功率谱属于同一总体，则F(k, k+1)服从自由度为(Q_p-1, Q_p-1)的F分布，t(i, m)服从自由度为2(Q_p-1)的中心t分布.

在给定置信度(1-α)下，若

$ \left\{\begin{array}{l}{F_{\left(Q_{q}-1, Q_{q}-1\right) ; a / 2} \leqslant F(k, k+1) \leqslant F_{\left(Q_{q}-1, Q_{q}-1\right) ;(1-\alpha / 2)}} \\ {|t(k, k+1)| \leqslant t_{2\left(Q_{q}-1\right) ;(1-\alpha / 2)}}\end{array}\right. $

(12)

成立，则假设成立，即相邻谱线k和(k+1)的功率谱属于同一总体；反之，则不属于同一总体.

归并属于同一总体的相邻谱线，形成H₁个频段，第h(h=1, 2, …, H₁)频段两端的谱线分别为k_h1和k_h2，谱线数为N_h.对第h频段的数据x_k(p, q)进行均值X_h(p)和方差S_h²(p)的参数估计，如下所示：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{X_h}(p) = \frac{1}{{{Q_p}{N_h}}}\sum\limits_{q = 1}^{{Q_p}} {\sum\limits_{k = {k_{h1}}}^{{k_{h2}}} {{x_k}} } (p, q)}\\ {S_h^2(p) = \frac{1}{{{Q_p}{N_h} - 1}}\sum\limits_{q = 1}^{{Q_p}} {\sum\limits_{k = {k_{h1}}}^{{k_{h2}}} {{{\left( {{x_k}(p, q) - {X_k}(p)} \right)}^2}} } } \end{array}} \right. $

(13)

计算置信度为(1-α)、分位点为β的容差上限系数F₁₂，如下所示：

$ {F_{12}} = \frac{{{t_{\left( {{Q_p}{N_h} - 1} \right);(1 - \alpha )}}}}{{\sqrt {{Q_p}{N_h}} }} + {Z_\beta }\sqrt {\frac{{{Q_p}{N_h} - 1}}{{\chi _{\left( {{Q_q}{N_h} - 1} \right);\alpha }^2}}} $

(14)

对第h个样本进行容差上限估计，如下所示：

$ G_{h}(p)=\left(X_{h}(p)+F_{12} S_{h}(p)\right)^{2} $

(15)

从而得到每个特征样本的随机振动规范谱G_h(p).

图 1为数据归纳流程.在时域数据处理中，利用非正态转换获取上下限，剔除出野点；在谱线归纳中，对非正态的数据进行转换，求得上限谱.

2 基于实测振动数据的谱归纳分析 2.1 实测背景

某线路地铁车辆运营时，一运行公里数约为18万的车辆(旧车)出现提吊装置振裂现象.据实测现场反馈，旧车轴箱明显比新上线车辆(新车)振动剧烈，并且提吊装置振裂现象只出现在旧车中.分析时，对比了新旧两车的振动数据，归纳了多通道数据的频谱.实测中，在一测试车辆的轴箱上均布置了测点，垂横每向各8个通道；同时，在对应的构架中部和端部布置了6个测点，在车体地板上布置了4个测点.轴箱测点的采样频率为2 048 Hz，构架和车体的采样频率分别为1 024 Hz和512 Hz.测试时，全程上下行共行驶5次.

表 1为振动加速度数据统计结果.由表 1可知, 车辆的振动加速度数据均为非正态数据.

2.2 时域处理

选取5 s轴箱垂向振动的数据片段进行计算，计算得到偏度和峰度分别为0.04和17.47，根据

$ J=\frac{N}{6}\left(\gamma_{\mathrm{s}}^{2}+\frac{\left(\gamma_{\mathrm{k}}-3\right)^{2}}{4}\right) $

(16)

计算得到的统计量J远大于自由度为2的χ²分布在显著性水平0.05下的分位点，故正态假设不成立.式(16)中，J、N、γ_s和γ_k分别表示检验统计量、样本容量、偏度和峰度.根据式(3)在正态转换后求取上限，用该分布下的随机数代替超限的数据点.图 2显示了处理前后轴箱振动的部分数据.表 2对比了处理前后振动加速度数据统计值.

由表 2可知，处理数据的最大绝对值比原数据小，但其均方根值几乎保持不变，未改变数据整体的能量特征，并且偏度更接近于零，峰度大大减小.处理方法不改变样本分布，对振动信号能量的影响很小，能极大程度保留原始数据特征，并剔除部分振动野点.

2.3 频域分析

根据第1.3节所述，归纳谱为实测谱和规范谱的总称，表示由GJB/Z126-99原方法和Johnson法则改进法2种方法所求的功率谱.实测谱为频率轴连续的功率谱，规范谱是由实测谱中相邻同分布的谱线合并而成的平直谱图.标准谱为IEC 61373-2010中轨道车辆装备振动^[4]的上限谱.

图 3和图 4分别显示了旧车和新车轴箱的垂向振动归纳谱.原方法和改进法所求的归纳谱分别用G和J表示.

由图 3可知，改进法所求得归纳谱值略大于原方法，原因是非正态数据某一分位点比转换后数据同一水平下的分位点小.原始数据中单个样本的统计值不能准确地估计样本总体，转换后求得的容差上限系数更能反映总体的真实情况.对比归纳谱中的实测谱和规范谱.实测谱是频率轴连续的谱图，规范谱则形成了频段.实测谱能清楚地显示每一个谱线，规范谱则将相邻同分布的谱线合并，便于归纳比较.对比归纳谱和标准谱，原方法所求的旧车和新车的归纳谱在主频段部分都未超过标准谱，而从改进法所求的归纳谱中可以看出, 旧车轴箱振动在部分主频段超过标准谱，与实测中旧车轴箱提吊振裂现象一致.

2.4 偏差分析

记原方法和改进法所求的实测谱分别为G_ko和G_kj.计算偏差比δ_k，如下所示：

$ \delta_{k}=\frac{G_{k {\rm o}}-G_{k {\rm j}}}{G_{k {\rm o}}} \times 100 \% $

(17)

对于同一样本，分别使用2种方法计算归纳谱并计算两者的偏差比.整个谱线中偏差的平均值为29%，同时存在偏差较大的谱线，最大值为35%.

图 5为2种方法所求谱线值偏差比的分布.由图 5可知，偏差比的分布大部分维持在29.1%左右.

选取某个频段的谱线值，对比2种方法的估计结果.表 3对比了该频段2种方法所求得的上限系数和上限值.其中，改进法所求得上限系数比原方法所求得的高28.1%，上限值高17.9%.

图 6显示了该频段原始谱线值的分布，谱线值样本是非正态的.由图 6可知，改进法所求得的上限值要大于原方法的计算结果.对于具有大量非正态样本的数据集，2种方法的计算结果存在明显差别.

图 7和图 8分别显示了旧车车体横向和构架横向振动归纳谱.由图 7可知，旧车车体横向振动能量主要在10 Hz以内，低频振动十分明显并超过标准谱，反映了实测过程中低频晃车和舒适性的劣化.由图 8可知，旧车构架横向振动在低频部分超过标准谱，主要是在2 Hz到5 Hz有较大的振动谱值.在50 Hz频段附近，谱线出现峰值，并且与车体振动峰值是对应的.谱分析方法在不同实测部位的振动数据上均能使用，得出的结果基本符合实测现象，可以验证该方法具有处理轨道车辆振动实测环境的普适性.

3 结语

基于GJB/Z126-99军用标准，提出了适用于轨道车辆振动环境数据归纳的方法和流程.原方法计算的非正态样本上限偏小，并用Johnson法则对原方法进行了改进，使得上限值更接近实际.研究的数据归纳技术可用于非正态数据、多通道、不同部位和不同振动方向，具有更好的普适性和准确性.利用归纳得出的实测谱和规范谱，可对振动情况做出可靠和准确的判断.