设$0\to J\to A\overset{\pi }{\mathop{\to }}\, B\to 0$是一个C^*-代数的短正合列.一般情况下可以通过研究A的理想J和商代数B的性质，来研究A的性质.例如张爽等在文献[1-2]中，证明了如果J和B是实秩零的C^*-代数并且满足J中的每个投影可以提升到A中，则A也是实秩零的C^*-代数.如果对于C^*-代数的短正合列加上条件, 例如称扩张是拟对角扩张，是指存在J中由投影组成的近似单位元{r_n}_n=1^∞, 使得对于任意的a∈A有, $\underset{n\to \infty }{\mathop{\text{lim}}}\, ||{{r}_{n}}x-x{{r}_{n}}||=0$.在文献[3]中，知道如果B和J是拟对角的C^*-代数，并且扩张是拟对角扩张，则A也是拟对角的C^*-代数.在文献[4]中，林华新等得到如果B和J是迹拓扑秩零(迹拓扑秩零的定义见文献[5-6])的C^*-代数，并且扩张是拟对角扩张，则A也是迹拓扑秩零的C^*-代数.在文献[7]中，方小春等证明了如果B和J是迹拓扑秩不超过1(迹拓扑秩不超过1的定义见文献[5-6])的C^*-代数，并且扩张是拟对角扩张，则A也是迹拓扑秩不超过1的C^*-代数.

Cuntz半群在C^*-代数的分类中有重要的应用.不能用Elliott不变量区分的C^*-代数可以通过他们的Cuntz半群来区分.例如在文献[8]中，Toms举出反例对于两个不同的单的AH代数，它们的Elliott不变量一样；但是Cuntz半群不一样，一个具有弱无孔性质，一个不具有弱无孔性质.

在本文中设$0\to J\to A\overset{\pi }{\mathop{\to }}\, B\to 0$是一个拟对角扩张.证明以下结论：① 如果B和J具有弱可比性质，则A也具有弱可比性质；② 如果B和J具有强消去性质，则A也具有强消去性质；③ 如果B和J具有n-无孔性质，则A也具有n-无孔性质.

1 预备知识

M是一个序半群，设x, y∈M记x≤^*y，如果存在非零的元素z∈M使得x+z=y.

定义1^[9]  称一个序半群M是弱可比的，是指对于任意的非零元x, z∈M，满足x≤z，并且存在自然数k和y∈M满足ky≤z，则有y≤x.

定义2^[9]  称一个序半群M具有严格比较性质，是指对于任意的a, b, c∈M，如果a+c≤^*b+c，则可以得到a≤^*b.

定义3^[10]  称一个序半群M具有n--无孔性质，是指对于任意的a, b, c∈M，如果na+c≤nb+c，可以存在某个d∈M，使得a+d≤b+d.

设A是有单位元的C^*-代数，M_n(A)表示由A中的元素构成的n×n矩阵的全体. M_∞(A)表示(M_∞(A), φ_n)的代数归纳的极限.其中φ_n:M_n(A)→M_n+1A满足a→diag(a, 0). M_∞(A)₊(M_n(A)₊)表示M_∞(A)(M_n(A))中正元的全体.对于任意的M_∞(A)中正元a和b用a⊕b来表示M_∞(A)中的正元diag(a, b)，对于任意的a, b∈M_∞(A)₊, 称a Cuntz子等价于b，记为a≤b，如果存在$\left( {{v}_{n}} \right)_{n=1}^{\infty }\subset {{M}_{\infty }}\left( A \right)$使得$\underset{n\to \infty }{\mathop{\text{lim}}}\, ||{{v}_{n}}bv_{n}^{*}-a||=0$.称a和b是Cuntz等价的，记为a~b，如果a≤b并且b≤a.与a中等价类的全体记为〈a〉，定义A的Cuntz半群为W(A):=M_∞(A)₊/~.

W(A)是一个有正序的半群定义加法

〈a〉+〈b〉=〈a⊕b〉

和半序

$ \langle a\rangle \le \langle b\rangle \Leftrightarrow a\le b $

称一个C^*-代数A具有弱可比性质，是指A的Cuntz半群W(A)是弱可比的.称一个C^*-代数A具有严格消去性质是指A的Cuntz半群W(A)具有严格消去性质.称一个C^*-代数A具有n-无孔性质是指A的Cuntz半群W(A)具有n-无孔性质.

定义4

设$0\to J\to A\overset{\pi }{\mathop{\to }}\, B\to 0$是一个C^*-代数的短正和列，称这个短正和列扩张是拟对角扩张，是指存在由J中的由投影组成的近似单位元{r_n}_n=1^∞, 使得对于任意的a∈A有, $\underset{n\to \infty }{\mathop{\text{lim}}}\, ||{{r}_{n}}x-x{{r}_{n}}||=0$.

引理1^[9]  设0→J→A→B→0是一个C^*-代数的拟对角的扩张，则对于任意的正元a, b∈M_k(A)₊在W(B)满足π(a)≤π(b)，则对于任意的ε>0，存在充分大的n∈N和投影P_n∈J，使得((1-P_n)⊗1_k)a(((1－P_n)⊗1_k)－ε/2)₊ ≤((1－p_n)⊗1_k)b(((1－p_n)⊗1_k)－ε/4)₊.

2 主要结果

定理1   设0→J→A→B→0是一个C^*-代数的拟对角的扩张.假设J和B具有弱可比性质，则A也具有弱可比性质.

证明  证明W(A)具有弱可比性质即可，也就是对于任意的非零元x, z∈M，满足x≤z，并且存在自然数k和y∈M满足ky≤z，证明y≤x，也就是对于任意的ε>0，证明(y－ε)₊≤x即可.不失一般性，假设x, y, z在A₊中，由于0→J→A→B→0是一个C^*-代数的拟对角的扩张，对于任意的ε>0，存在充分大的n∈N和投影P_n∈J，使得

$ \begin{align} &\|x-{{P}_{n}}x{{P}_{n}}-(1-{{P}_{n}})x(1-{{P}_{n}})\| < \varepsilon /4 \\ &\|y-{{P}_{n}}y{{P}_{n}}-(1-{{P}_{n}})y(1-{{P}_{n}})\| < \varepsilon /4 \\ &\|z-{{P}_{n}}z{{P}_{n}}-(1-{{P}_{n}})z(1-{{P}_{n}})\| < \varepsilon /4. \\ \end{align} $

有

$ \begin{align} &{{\left( x-\varepsilon /2 \right)}_{+}}\le {{P}_{n}}x{{P}_{n}}+{{((1-{{P}_{n}})x(1-{{P}_{n}})-\varepsilon /4)}_{+}}, \\ &{{\left( y-\varepsilon /2 \right)}_{+}}\le {{P}_{n}}y{{P}_{n}}+(1-{{P}_{n}})y(1-{{P}_{n}})-\varepsilon /4{{)}_{+}}. \\ &{{\left( z-\varepsilon /2 \right)}_{+}}\le {{P}_{n}}z{{P}_{n}}+{{((1-{{P}_{n}})z(1-{{P}_{n}})-\varepsilon /4)}_{+}} \\ \end{align} $

由于x≤z并且ky≤z，因此有P_nxP_n≤P_nzP_n，kP_nyP_n≤kP_nzP_n.

由于P_nxP_n, P_nyP_n, P_nzP都在J中，并且J具有弱可比性质，有p_nyp_n≤p_nxp.

同时有π(x)≤π(z)和kπ(y)≤π(z)成立.由于B具有弱可比性质，因此有π(y)≤π(x).由引理1得到：

$ (1-{{p}_{n}})y(1-{{p}_{n}})-\varepsilon /2{{)}_{+}}\le (1-{{p}_{n}})x(1-{{p}_{n}})-\varepsilon /4{{)}_{+}} $

因此得到：

$ \begin{align} &{{\left( y-\varepsilon \right)}_{+}}\le {{P}_{n}}y{{P}_{n}}+{{((1-{{P}_{n}})y(1-{{P}_{n}})-\varepsilon /2)}_{+}} \\ &\le \text{ }{{p}_{n}}x{{p}_{n}}~+\text{ }{{((1-{{p}_{n}})x(1-{{p}_{n}})-\varepsilon /4)}_{+}}~ \\ &\le \text{ }x. \\ \end{align} $

定理2  设0→J→A→B→0是一个C^*-代数的拟对角的扩张.假设J和B具有严格的消去性质，则A也具有严格的消去性质.

证明  只有证明W(A)具有严格的消去性质即可，也就是对于任意的a, b, c∈W(A)，如果a+c≤^*b+c，只要证明a≤^*b即可，也就是对于任意的ε>0证明存在e'∈W(A)满足(a－ε)₊+e'≤b即可.

不妨假设a, b在A₊中，并且假设ac=0, bc=0.由于a+c≤^*b+c，因此存在d∈A₊，使得a+c+d≤b+c，不妨设ad=cd=0.由于0→J→A→B→0是一个C^*-代数的拟对角的扩张，对于任意ε>0, 和充分大的n∈N, 存在投影p_n∈J满足：

$ \begin{align} & \|a-{{p}_{n}}a{{p}_{n}}-\left( 1-{{p}_{n}} \right)a\left( 1-{{p}_{n}} \right)\| < \varepsilon /2, \\ & \|b-{{p}_{n}}b{{p}_{n}}-\left( 1-{{p}_{n}} \right)b\left( 1-{{p}_{n}} \right)\|\ < \varepsilon /4, \\ & \|c-{{p}_{n}}c{{p}_{n}}-\left( 1-{{p}_{n}} \right)c\left( 1-{{p}_{n}} \right)\| < \varepsilon /2, \\ & \|d-{{p}_{n}}c{{p}_{n}}-\left( 1-{{p}_{n}} \right)d\left( 1-{{p}_{n}} \right)\| < \varepsilon /2 \\ \end{align} $

由于a+c+d≤b+c，因此有:p_nap_n+p_ncp_n+p_ndp_n≤p_nbp_n+p_ncp_n, 由于p_nap_n, p_nbp_n, p_ncp_n, p_ndp_n在J中并且J具有严格的消去性质，因此存在e'∈J₊使得p_nap_n+e'≤p_nbp_n.同时有π(a+b+d)≤π(b+c), 并且B具有严格的消去性质，因此存在e∈A₊.不妨设ae=0，使得π(a+e)≤π(b).由引理1, 有, ((1-p_n)(a+e)(1－p_n)－ε/2)₊ ≤((1－p_n)b(1－p_n)－ε/4)₊

因此有

$ \begin{align} &{{\left( a-\varepsilon \right)}_{+}}+e\prime \le {{p}_{n}}a{{p}_{n}}+e\prime +(\left( 1-{{p}_{n}} \right)a \\ &\left( 1-{{p}_{n}} \right)-\varepsilon /2{{)}_{+}}\le {{p}_{n}}b{{p}_{n}}+(\left( 1-{{p}_{n}} \right)b\left( 1-{{p}_{n}} \right)- \\ &\varepsilon /4{{)}_{+}}.\le b \\ \end{align} $

定理3   设0→J→A→B→0是一个C^*-代数的拟对角的扩张.假设J和B具有n-无孔性质.则A具有n-无孔性质.

证明   只要证明W(A)具有n--无孔性质即可，也就是对于任意的a, b, c∈W(A)，如果na+c≤nb+c，证明存在d∈W(A)，使得a+d≤b+d即可.

不妨假设a, b, c在A₊中，并且假设ac=bc=ab=0，由于0→J→A→B→0是一个C^*-代数的拟对角的扩张.对于任意ε>0, 和充分大的n∈N, 存在投影p_n∈J满足

$ \begin{align} &\|a-{{p}_{n}}a{{p}_{n}}-\left( 1-{{p}_{n}} \right)a\left( 1-{{p}_{n}} \right)\| < \varepsilon /2, \\ &\|b-{{p}_{n}}b{{p}_{n}}-\left( 1-{{p}_{n}} \right)b\left( 1-{{p}_{n}} \right)\| < \varepsilon /4, \\ &\|c-{{p}_{n}}c{{p}_{n}}-\left( 1-{{p}_{n}} \right)c\left( 1-{{p}_{n}} \right)\| < \varepsilon /2 \\ \end{align} $

由于na+c≤nb+c，因此有np_nap_n+p_ncp_n≤np_nbp_n+p_ncp_n, 由于p_nap_n, p_nbp_n, p_ncp_n在J中并且J具有n-无孔性质，因此存在e′∈J₊使得p_nap_n+e′≤p_nbp_n+e′.同时有π(na+c)≤π(nb+c）, 并且B具有n-无孔性质，因此存在e∈A₊不妨设ae=be=0，使得π（a+e）≤π（b+e）.

由引理1, 有：

$ \begin{align} &\left( \left( 1-{{p}_{n}} \right)a\left( 1-{{p}_{n}} \right)-\varepsilon /{{2}_{+}} \right)\oplus \left( 1-{{p}_{n}} \right)e \\ &\left( 1-{{p}_{n}} \right)\le \left( \left( 1-{{p}_{n}} \right)b\left( 1-{{p}_{n}} \right)-\varepsilon /{{4}_{+}} \right)\oplus \\ &\left( 1-{{p}_{n}} \right)e\left( 1-{{p}_{n}} \right) \\ \end{align} $

因此有(a－ε)₊+e′+(1－p_n)e(1－p_n)≤p_nap_n+e′+((1－p_n)a(1－p_n)－ε/2)₊⊕(1－p_n)e(1－p_n)≤p_nbp_n+e'+((1－p_n)b(1－p_n)－ε/4₊)⊕(1－p_n)e(1－p_n)≤b+e′⊕(1－p_n)e(1－p_n)

取d=e'⊕(1－p_n)e(1－p_n)，得到(a－ε)₊+d≤b+d.