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  同济大学学报(自然科学版)  2017, Vol. 45 Issue (8): 1240-1242.  DOI: 10.11908/j.issn.0253-374x.2017.08.020
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引用本文  

范庆斋, 方小春, 梁月亮. 拟对角扩张C*-代数的性质[J]. 同济大学学报(自然科学版), 2017, 45(8): 1240-1242. DOI: 10.11908/j.issn.0253-374x.2017.05.002.
FAN Qingzhai, FANG Xiaochun, LIANG Yueliang. Some Properties of the Quasidiagonal Extension C*-algebras[J]. Journal of Tongji University (Natural Science), 2017, 45(8): 1240-1242. DOI: 10.11908/j.issn.0253-374x.2017.08.020.

基金项目

国家自然科学基金(11571008,11501357)

第一作者

范庆斋(1976—),男,理学博士,副教授,主要研究方向为算子代数及其应用.E-mail: qzfan@shmtu.edu.cn

文章历史

收稿日期:2016-12-06
拟对角扩张C*-代数的性质
范庆斋1,2, 方小春1, 梁月亮3    
1. 同济大学 数学系, 上海 200092;
2. 上海海事大学 文理学院数学系, 上海 201306;
3. 中北大学 理学院数学系, 山西 太原 030051
摘要:0→JAB→0是一个拟对角扩张.证明以下结论:① 如果JB具有弱可比性质,则A也具有弱可比性质;② 如果JB具有强消去性质,则A也具有强消去性质;③ 如果JB具有n-无孔性质,则A也具有n-无孔性质.
关键词C*-代数    拟对角扩张    Cuntz半群    
Some Properties of the Quasidiagonal Extension C*-algebras
FAN Qingzhai1,2, FANG Xiaochun1, LIANG Yueliang3     
1. Department of Mathematics, Tongji University, Shanghai 200092, China;
2. Department of Mathematics, Shanghai Maritime University, Shanghai 201306, China;
3. School of Sciences, North University of China, Taiyuan 030051, China
Abstract: Let 0→JAB→0 be a quasidiagonal extension. We show the following results: ① suppose that J and B have the weakly comparison properties, then A has the weakly comparison property. ② suppose that J and B have the strictly cancellation properties, then A has the strictly cancellation property. ③ suppose that J and B have the n-unperforated properties, then A has the n-unperforated property.
Key words: C*-algebra    quasidiagonal extension    Cuntz semigroup    

$0\to J\to A\overset{\pi }{\mathop{\to }}\, B\to 0$是一个C*-代数的短正合列.一般情况下可以通过研究A的理想J和商代数B的性质,来研究A的性质.例如张爽等在文献[1-2]中,证明了如果JB是实秩零的C*-代数并且满足J中的每个投影可以提升到A中,则A也是实秩零的C*-代数.如果对于C*-代数的短正合列加上条件, 例如称扩张是拟对角扩张,是指存在J中由投影组成的近似单位元{rn}n=1, 使得对于任意的aA有, $\underset{n\to \infty }{\mathop{\text{lim}}}\, ||{{r}_{n}}x-x{{r}_{n}}||=0$.在文献[3]中,知道如果BJ是拟对角的C*-代数,并且扩张是拟对角扩张,则A也是拟对角的C*-代数.在文献[4]中,林华新等得到如果BJ是迹拓扑秩零(迹拓扑秩零的定义见文献[5-6])的C*-代数,并且扩张是拟对角扩张,则A也是迹拓扑秩零的C*-代数.在文献[7]中,方小春等证明了如果BJ是迹拓扑秩不超过1(迹拓扑秩不超过1的定义见文献[5-6])的C*-代数,并且扩张是拟对角扩张,则A也是迹拓扑秩不超过1的C*-代数.

Cuntz半群在C*-代数的分类中有重要的应用.不能用Elliott不变量区分的C*-代数可以通过他们的Cuntz半群来区分.例如在文献[8]中,Toms举出反例对于两个不同的单的AH代数,它们的Elliott不变量一样;但是Cuntz半群不一样,一个具有弱无孔性质,一个不具有弱无孔性质.

在本文中设$0\to J\to A\overset{\pi }{\mathop{\to }}\, B\to 0$是一个拟对角扩张.证明以下结论:① 如果BJ具有弱可比性质,则A也具有弱可比性质;② 如果BJ具有强消去性质,则A也具有强消去性质;③ 如果BJ具有n-无孔性质,则A也具有n-无孔性质.

1 预备知识

M是一个序半群,设x, yMx*y,如果存在非零的元素zM使得x+z=y.

定义1[9]  称一个序半群M是弱可比的,是指对于任意的非零元x, zM,满足xz,并且存在自然数kyM满足kyz,则有yx.

定义2[9]  称一个序半群M具有严格比较性质,是指对于任意的a, b, cM,如果a+c*b+c,则可以得到a*b.

定义3[10]  称一个序半群M具有n--无孔性质,是指对于任意的a, b, cM,如果na+cnb+c,可以存在某个dM,使得a+db+d.

A是有单位元的C*-代数,Mn(A)表示由A中的元素构成的n×n矩阵的全体. M(A)表示(M(A), φn)的代数归纳的极限.其中φn:Mn(A)→Mn+1A满足a→diag(a, 0). M(A)+(Mn(A)+)表示M(A)(Mn(A))中正元的全体.对于任意的M(A)中正元abab来表示M(A)中的正元diag(a, b),对于任意的a, bM(A)+, 称a Cuntz子等价于b,记为ab,如果存在$\left( {{v}_{n}} \right)_{n=1}^{\infty }\subset {{M}_{\infty }}\left( A \right)$使得$\underset{n\to \infty }{\mathop{\text{lim}}}\, ||{{v}_{n}}bv_{n}^{*}-a||=0$.称ab是Cuntz等价的,记为a~b,如果ab并且ba.与a中等价类的全体记为〈a〉,定义A的Cuntz半群为W(A):=M(A)+/~.

W(A)是一个有正序的半群定义加法

a〉+〈b〉=〈ab

和半序

$ \langle a\rangle \le \langle b\rangle \Leftrightarrow a\le b $

称一个C*-代数A具有弱可比性质,是指A的Cuntz半群W(A)是弱可比的.称一个C*-代数A具有严格消去性质是指A的Cuntz半群W(A)具有严格消去性质.称一个C*-代数A具有n-无孔性质是指A的Cuntz半群W(A)具有n-无孔性质.

定义4

$0\to J\to A\overset{\pi }{\mathop{\to }}\, B\to 0$是一个C*-代数的短正和列,称这个短正和列扩张是拟对角扩张,是指存在由J中的由投影组成的近似单位元{rn}n=1, 使得对于任意的aA有, $\underset{n\to \infty }{\mathop{\text{lim}}}\, ||{{r}_{n}}x-x{{r}_{n}}||=0$.

引理1[9]  设0→JAB→0是一个C*-代数的拟对角的扩张,则对于任意的正元a, bMk(A)+W(B)满足π(a)≤π(b),则对于任意的ε>0,存在充分大的nN和投影PnJ,使得((1-Pn)⊗1k)a(((1-Pn)⊗1k)-ε/2)+ ≤((1-pn)⊗1k)b(((1-pn)⊗1k)-ε/4)+.

2 主要结果

定理1   设0→JAB→0是一个C*-代数的拟对角的扩张.假设JB具有弱可比性质,则A也具有弱可比性质.

证明  证明W(A)具有弱可比性质即可,也就是对于任意的非零元x, zM,满足xz,并且存在自然数kyM满足kyz,证明yx,也就是对于任意的ε>0,证明(yε)+x即可.不失一般性,假设x, y, zA+中,由于0→JAB→0是一个C*-代数的拟对角的扩张,对于任意的ε>0,存在充分大的nN和投影PnJ,使得

$ \begin{align} &\|x-{{P}_{n}}x{{P}_{n}}-(1-{{P}_{n}})x(1-{{P}_{n}})\| < \varepsilon /4 \\ &\|y-{{P}_{n}}y{{P}_{n}}-(1-{{P}_{n}})y(1-{{P}_{n}})\| < \varepsilon /4 \\ &\|z-{{P}_{n}}z{{P}_{n}}-(1-{{P}_{n}})z(1-{{P}_{n}})\| < \varepsilon /4. \\ \end{align} $

$ \begin{align} &{{\left( x-\varepsilon /2 \right)}_{+}}\le {{P}_{n}}x{{P}_{n}}+{{((1-{{P}_{n}})x(1-{{P}_{n}})-\varepsilon /4)}_{+}}, \\ &{{\left( y-\varepsilon /2 \right)}_{+}}\le {{P}_{n}}y{{P}_{n}}+(1-{{P}_{n}})y(1-{{P}_{n}})-\varepsilon /4{{)}_{+}}. \\ &{{\left( z-\varepsilon /2 \right)}_{+}}\le {{P}_{n}}z{{P}_{n}}+{{((1-{{P}_{n}})z(1-{{P}_{n}})-\varepsilon /4)}_{+}} \\ \end{align} $

由于xz并且kyz,因此有PnxPnPnzPnkPnyPnkPnzPn.

由于PnxPn, PnyPn, PnzP都在J中,并且J具有弱可比性质,有pnypnpnxp.

同时有π(x)≤π(z)和(y)≤π(z)成立.由于B具有弱可比性质,因此有π(y)≤π(x).由引理1得到:

$ (1-{{p}_{n}})y(1-{{p}_{n}})-\varepsilon /2{{)}_{+}}\le (1-{{p}_{n}})x(1-{{p}_{n}})-\varepsilon /4{{)}_{+}} $

因此得到:

$ \begin{align} &{{\left( y-\varepsilon \right)}_{+}}\le {{P}_{n}}y{{P}_{n}}+{{((1-{{P}_{n}})y(1-{{P}_{n}})-\varepsilon /2)}_{+}} \\ &\le \text{ }{{p}_{n}}x{{p}_{n}}~+\text{ }{{((1-{{p}_{n}})x(1-{{p}_{n}})-\varepsilon /4)}_{+}}~ \\ &\le \text{ }x. \\ \end{align} $

定理2  设0→JAB→0是一个C*-代数的拟对角的扩张.假设JB具有严格的消去性质,则A也具有严格的消去性质.

证明  只有证明W(A)具有严格的消去性质即可,也就是对于任意的a, b, cW(A),如果a+c*b+c,只要证明a*b即可,也就是对于任意的ε>0证明存在e'∈W(A)满足(aε)++e'≤b即可.

不妨假设a, bA+中,并且假设ac=0, bc=0.由于a+c*b+c,因此存在dA+,使得a+c+db+c,不妨设ad=cd=0.由于0→JAB→0是一个C*-代数的拟对角的扩张,对于任意ε>0, 和充分大的nN, 存在投影pnJ满足:

$ \begin{align} & \|a-{{p}_{n}}a{{p}_{n}}-\left( 1-{{p}_{n}} \right)a\left( 1-{{p}_{n}} \right)\| < \varepsilon /2, \\ & \|b-{{p}_{n}}b{{p}_{n}}-\left( 1-{{p}_{n}} \right)b\left( 1-{{p}_{n}} \right)\|\ < \varepsilon /4, \\ & \|c-{{p}_{n}}c{{p}_{n}}-\left( 1-{{p}_{n}} \right)c\left( 1-{{p}_{n}} \right)\| < \varepsilon /2, \\ & \|d-{{p}_{n}}c{{p}_{n}}-\left( 1-{{p}_{n}} \right)d\left( 1-{{p}_{n}} \right)\| < \varepsilon /2 \\ \end{align} $

由于a+c+db+c,因此有:pnapn+pncpn+pndpnpnbpn+pncpn, 由于pnapn, pnbpn, pncpn, pndpnJ中并且J具有严格的消去性质,因此存在e'∈J+使得pnapn+e'≤pnbpn.同时有π(a+b+d)≤π(b+c), 并且B具有严格的消去性质,因此存在eA+.不妨设ae=0,使得π(a+e)≤π(b).由引理1, 有, ((1-pn)(a+e)(1-pn)-ε/2)+ ≤((1-pn)b(1-pn)-ε/4)+

因此有

$ \begin{align} &{{\left( a-\varepsilon \right)}_{+}}+e\prime \le {{p}_{n}}a{{p}_{n}}+e\prime +(\left( 1-{{p}_{n}} \right)a \\ &\left( 1-{{p}_{n}} \right)-\varepsilon /2{{)}_{+}}\le {{p}_{n}}b{{p}_{n}}+(\left( 1-{{p}_{n}} \right)b\left( 1-{{p}_{n}} \right)- \\ &\varepsilon /4{{)}_{+}}.\le b \\ \end{align} $

定理3   设0→JAB→0是一个C*-代数的拟对角的扩张.假设JB具有n-无孔性质.则A具有n-无孔性质.

证明   只要证明W(A)具有n--无孔性质即可,也就是对于任意的a, b, cW(A),如果na+cnb+c,证明存在dW(A),使得a+db+d即可.

不妨假设a, b, cA+中,并且假设ac=bc=ab=0,由于0→JAB→0是一个C*-代数的拟对角的扩张.对于任意ε>0, 和充分大的nN, 存在投影pnJ满足

$ \begin{align} &\|a-{{p}_{n}}a{{p}_{n}}-\left( 1-{{p}_{n}} \right)a\left( 1-{{p}_{n}} \right)\| < \varepsilon /2, \\ &\|b-{{p}_{n}}b{{p}_{n}}-\left( 1-{{p}_{n}} \right)b\left( 1-{{p}_{n}} \right)\| < \varepsilon /4, \\ &\|c-{{p}_{n}}c{{p}_{n}}-\left( 1-{{p}_{n}} \right)c\left( 1-{{p}_{n}} \right)\| < \varepsilon /2 \\ \end{align} $

由于na+cnb+c,因此有npnapn+pncpnnpnbpn+pncpn, 由于pnapn, pnbpn, pncpnJ中并且J具有n-无孔性质,因此存在e′∈J+使得pnapn+e′≤pnbpn+e′.同时有π(na+c)≤π(nb+c), 并且B具有n-无孔性质,因此存在eA+不妨设ae=be=0,使得πa+e)≤πb+e).

由引理1, 有:

$ \begin{align} &\left( \left( 1-{{p}_{n}} \right)a\left( 1-{{p}_{n}} \right)-\varepsilon /{{2}_{+}} \right)\oplus \left( 1-{{p}_{n}} \right)e \\ &\left( 1-{{p}_{n}} \right)\le \left( \left( 1-{{p}_{n}} \right)b\left( 1-{{p}_{n}} \right)-\varepsilon /{{4}_{+}} \right)\oplus \\ &\left( 1-{{p}_{n}} \right)e\left( 1-{{p}_{n}} \right) \\ \end{align} $

因此有(aε)++e′+(1-pn)e(1-pn)≤pnapn+e′+((1-pn)a(1-pn)-ε/2)+⊕(1-pn)e(1-pn)≤pnbpn+e'+((1-pn)b(1-pn)-ε/4+)⊕(1-pn)e(1-pn)≤b+e′⊕(1-pn)e(1-pn)

d=e'⊕(1-pn)e(1-pn),得到(aε)++db+d.

参考文献
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